https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726918863693dz3ynqqk.jpg

https://r2.erweima.ai/mathbot/image/17269188636949lypmbq4.jpg

виконай це завдання на українській мові

Щоб знайти оригінали для зображень \( X_1(s) \) і \( X_2(s) \) за допомогою методу залишків, потрібно виконати обернене перетворення Лапласа для кожної функції. Давайте почнемо з кожної з них.

### Для \( X_1(s) = \frac{3s + 1}{3s^2 + 4s + 1} \):

1. Розв'яжемо знаменник: \( 3s^2 + 4s + 1 = 0 \). Використаємо дискримінант:
   \[
   D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4
   \]
   Корені:
   \[
   s_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 2}{6}
   \]
   Корені: \( s_1 = -\frac{1}{3} \), \( s_2 = -1 \).

2. Використаємо метод розкладу на прості дроби:
   \[
   \frac{3s + 1}{(s + \frac{1}{3})(s + 1)} = \frac{A}{s + \frac{1}{3}} + \frac{B}{s + 1}
   \]
   Розв'язуємо для коефіцієнтів \( A \) і \( B \):
   \[
   3s + 1 = A(s + 1) + B(s + \frac{1}{3})
   \]
   Для цього прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях \( s \). Отримаємо:
   \[
   A + B = 3 \quad \text{(при } s \text{)}
   \]
   \[
   A + \frac{1}{3}B = 1 \quad \text{(при } s^0 \text{)}
   \]
   Розв'язавши систему:
   \[
   B = 6, \quad A = -3
   \]

3. Оригінал для кожної частини:
   \[
   \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{-3}{s + \frac{1}{3}}\right) = -3e^{-\frac{1}{3}t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{6}{s + 1}\right) = 6e^{-t}
   \]
   Остаточний результат:
   \[
   x_1(t) = -3e^{-\frac{1}{3}t} + 6e^{-t}
   \]

### Для \( X_2(s) = \frac{s + 1}{2s^2 + 5s + 2} \):

1. Розв'яжемо знаменник: \( 2s^2 + 5s + 2 = 0 \). Використаємо дискримінант:
   \[
   D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9
   \]
   Корені:
   \[
   s_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}
   \]
   Корені: \( s_1 = -\frac{1}{2}, \quad s_2 = -2 \).

2. Використаємо метод розкладу на прості дроби:
   \[
   \frac{s + 1}{(s + \frac{1}{2})(s + 2)} = \frac{A}{s + \frac{1}{2}} + \frac{B}{s + 2}
   \]
   Прирівняємо:
   \[
   s + 1 = A(s + 2) + B(s + \frac{1}{2})
   \]
   Розв'яжемо для коефіцієнтів \( A \) і \( B \):
   \[
   A + B = 1 \quad \text{(при } s \text{)}
   \]
   \[
   2A + \frac{1}{2}B = 1 \quad \text{(при } s^0 \text{)}
   \]
   Розв'язавши систему:
   \[
   B = \frac{2}{3}, \quad A = \frac{1}{3}
   \]

3. Оригінал для кожної частини:
   \[
   \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{\frac{1}{3}}{s + \frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{3}e^{-\frac{1}{2}t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{\frac{2}{3}}{s + 2}\right) = \frac{2}{3}e^{-2t}
   \]
   Остаточний результат:
   \[
   x_2(t) = \frac{1}{3}e^{-\frac{1}{2}t} + \frac{2}{3}e^{-2t}
   \]

### Підсумкові оригінали:
\[
x_1(t) = -3e^{-\frac{1}{3}t} + 6e^{-t}, \quad x_2(t) = \frac{1}{3}e^{-\frac{1}{2}t} + \frac{2}{3}e^{-2t}
\]

---

Чи потрібні вам додаткові деталі або пояснення?  
5 пов'язаних запитань:
1. Як працює метод залишків при оберненому перетворенні Лапласа?
2. Яка роль дискримінанта при знаходженні коренів квадратного рівняння?
3. Як можна застосувати перетворення Лапласа до диференціальних рівнянь?
4. Що таке розклад на прості дроби і коли його використовують?
5. Як перетворення Лапласа допомагає в аналізі лінійних систем?

**Порада:** Для коренів квадратного рівняння, перевірка дискримінанта допомагає зрозуміти, чи будуть корені дійсними або комплексними.

За допомогою методу лишків знайдіть оригінали таких зображень, розв'язок записати: X_1(s) = (3s+1) / (3s^2+4s+1) ; X_2(s) = (s+1) / (2s^2+5s+2)

Learn how to solve the inverse Laplace transforms for X1(s) = (3s+1)/(3s^2+4s+1) and X2(s) = (s+1)/(2s^2+5s+2) using the method of residues. This detailed step-by-step solution involves partial fraction decomposition and solving quadratic equations. Ideal for students at the undergraduate level in mathematics or engineering.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation