Para resolver la ecuación diferencial homogénea de tercer orden:

\[
y''' + y'' + 4y' + 4y = 0
\]

Primero, planteamos la ecuación característica asociada:

\[
r^3 + r^2 + 4r + 4 = 0
\]

Para encontrar las raíces de esta ecuación cúbica, vamos a intentar factorizarla. Observamos que el término \(4r + 4\) sugiere que podríamos intentar un factor de \(r+2\). Vamos a verificar si \(r = -2\) es una raíz sustituyéndolo en la ecuación característica:

\[
(-2)^3 + (-2)^2 + 4(-2) + 4 = -8 + 4 - 8 + 4 = -8 + 8 = 0
\]

Entonces, \(r = -2\) es una raíz de la ecuación característica. Ahora, factorizamos \(r + 2\) de la ecuación cúbica:

\[
r^3 + r^2 + 4r + 4 = (r + 2)(r^2 + 4) = 0
\]

Ahora tenemos:

\[
(r + 2)(r^2 + 4) = 0
\]

Esto nos da las raíces:

1. \(r = -2\) (raíz real simple)
2. \(r^2 + 4 = 0\), lo que implica \(r^2 = -4\), es decir, \(r = \pm 2i\) (raíces complejas).

Por lo tanto, las raíces de la ecuación característica son:

\[
r_1 = -2, \quad r_2 = 2i, \quad r_3 = -2i
\]

Con estas raíces, la solución general de la ecuación diferencial es:

\[
y(x) = c_1 e^{-2x} + c_2 \cos(2x) + c_3 \sin(2x)
\]

Donde \(c_1\), \(c_2\), y \(c_3\) son constantes arbitrarias que se determinan con las condiciones iniciales (si se proporcionan).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se factoriza una ecuación cúbica usando divisores?
2. ¿Cómo se resuelven ecuaciones diferenciales con raíces complejas?
3. ¿Qué técnicas existen para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior?
4. ¿Cuál es el significado físico de soluciones con senos y cosenos?
5. ¿Cómo se aplican condiciones iniciales para obtener una solución particular?

**Tip:** Las raíces complejas en ecuaciones diferenciales generan términos oscilatorios en la solución, representados por funciones seno y coseno.

This solution explains how to solve the third-order homogeneous differential equation y''' + y'' + 4y' + 4y = 0 using characteristic equations and factorization. The problem involves finding real and complex roots and applying them to construct the general solution. Suitable for university-level students studying differential equations.

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