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La ecuación proporcionada es:

\[
x^3 - 7x + 6 = 0
\]

Vamos a resolverla utilizando el **método de factorización** y el **teorema del residuo racional**.

### Paso 1: Probar raíces posibles

De acuerdo con el **teorema del residuo racional**, las posibles raíces racionales de la ecuación pueden ser los divisores del término independiente (6), es decir:

\[
\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6
\]

Comprobemos si alguna de estas posibles raíces satisface la ecuación.

- Para \(x = 1\):
  \[
  1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0
  \]
  Entonces, \(x = 1\) es una raíz.

### Paso 2: Factorizar el polinomio

Ya que \(x = 1\) es una raíz, podemos dividir el polinomio \(x^3 - 7x + 6\) entre \(x - 1\) utilizando **división sintética** o división polinómica.

Realizando la división sintética:

\[
\begin{array}{r|rrr}
1 & 1 & 0 & -7 & 6 \\
  &   & 1 & 1  & -6 \\
\hline
  & 1 & 1 & -6 & 0 \\
\end{array}
\]

El cociente es \(x^2 + x - 6\). Entonces, podemos escribir el polinomio como:

\[
x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6)
\]

### Paso 3: Factorizar el polinomio cuadrático

Ahora factorizamos \(x^2 + x - 6\). Buscamos dos números que multiplicados den \(-6\) y sumados den \(1\). Estos números son \(3\) y \(-2\). Entonces:

\[
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)
\]

### Paso 4: Escribir la factorización completa

La factorización completa del polinomio es:

\[
x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x + 3)(x - 2)
\]

### Paso 5: Solución del polinomio

Para encontrar las raíces, igualamos cada factor a cero:

\[
x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]
\[
x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3
\]
\[
x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]

### Conjunto solución:

El conjunto solución de la ecuación es:

\[
S = \{1, -3, 2\}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? 

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica el teorema del residuo racional en polinomios de mayor grado?
2. ¿Qué es la división sintética y cómo se utiliza en polinomios cúbicos?
3. ¿Cómo se resuelven ecuaciones cúbicas que no se pueden factorizar fácilmente?
4. ¿Qué otros métodos se pueden usar para resolver ecuaciones cúbicas, aparte de la factorización?
5. ¿Cómo se puede verificar la corrección de una factorización polinómica?

### Tip:
Cuando utilices el teorema del residuo racional, es útil empezar probando los divisores más pequeños para encontrar raíces más rápidamente.

Determina el conjunto solución de la siguiente ecuación polinómica: x^3 - 7x + 6 = 0.

Learn how to solve the cubic polynomial equation x^3 - 7x + 6 using factorization and the Rational Root Theorem. This problem involves determining the rational roots and factoring the polynomial step by step. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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