Dibuja, clasifica y soluciona cada triángulo utilizando el teorema del seno:
a. a=47, b= ?, c= ?
α= ?, β= 58°, Υ= 109°
b. a=17, b= ?, c= 9
α= 125°, β= ?, Υ= ?
2. Dibuja, clasifica y soluciona el triángulo utilizando el teorema del coseno:
a. a=137, b= 211, c= ?
α= ?, β= ?, Υ= 43°
b. a=7, b= 11, c= 15
α= ?, β= ?, Υ= ?

Para resolver y clasificar los triángulos utilizando el teorema del seno y del coseno, seguiremos los pasos adecuados. Empezaremos por el Teorema del Seno para los problemas 1a y 1b, y luego utilizaremos el Teorema del Coseno para los problemas 2a y 2b.

### 1. Utilizando el Teorema del Seno

El Teorema del Seno establece que en cualquier triángulo:

\[
\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}
\]

#### a. \(a = 47\), \(b = ?\), \(c = ?\)
\(\alpha = ?\), \(\beta = 58^\circ\), \(\gamma = 109^\circ\)

1. Primero, hallamos el ángulo \(\alpha\) usando la suma de los ángulos internos de un triángulo:
   \[
   \alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 58^\circ - 109^\circ = 13^\circ
   \]

2. Luego, usamos el teorema del seno para encontrar \(b\) y \(c\):

   \[
   \frac{47}{\sin(13^\circ)} = \frac{b}{\sin(58^\circ)} = \frac{c}{\sin(109^\circ)}
   \]

   Resolviendo para \(b\) y \(c\):

   \[
   b = \frac{47 \times \sin(58^\circ)}{\sin(13^\circ)} \approx 186.92
   \]
   \[
   c = \frac{47 \times \sin(109^\circ)}{\sin(13^\circ)} \approx 195.99
   \]

   **Clasificación**: Es un triángulo **escaleno** ya que todos los lados son diferentes.

#### b. \(a = 17\), \(b = ?\), \(c = 9\)
\(\alpha = 125^\circ\), \(\beta = ?\), \(\gamma = ?\)

1. Primero, hallamos los ángulos restantes usando la suma de los ángulos internos:

   \[
   \gamma = \sin^{-1} \left( \frac{9 \times \sin(125^\circ)}{17} \right)
   \]

   Luego:

   \[
   \beta = 180^\circ - \alpha - \gamma
   \]

2. Ahora, calculemos:

   \[
   \gamma \approx \sin^{-1} \left( \frac{9 \times \sin(125^\circ)}{17} \right) \approx 25.91^\circ
   \]
   \[
   \beta = 180^\circ - 125^\circ - 25.91^\circ = 29.09^\circ
   \]

   Ahora hallamos \(b\) usando el teorema del seno:

   \[
   b = \frac{17 \times \sin(29.09^\circ)}{\sin(125^\circ)} \approx 9.17
   \]

   **Clasificación**: Es un triángulo **escaleno** ya que todos los lados son diferentes.

### 2. Utilizando el Teorema del Coseno

El Teorema del Coseno establece que en cualquier triángulo:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)
\]

#### a. \(a = 137\), \(b = 211\), \(c = ?\)
\(\alpha = ?\), \(\beta = ?\), \(\gamma = 43^\circ\)

1. Hallamos \(c\) usando el teorema del coseno:

   \[
   c^2 = 137^2 + 211^2 - 2 \times 137 \times 211 \times \cos(43^\circ)
   \]
   \[
   c \approx \sqrt{137^2 + 211^2 - 2 \times 137 \times 211 \times \cos(43^\circ)} \approx 157.85
   \]

2. Ahora usamos el Teorema del Seno para hallar los ángulos \(\alpha\) y \(\beta\):

   \[
   \frac{\sin(\alpha)}{137} = \frac{\sin(43^\circ)}{157.85}
   \]

   Resolviendo para \(\alpha\) y \(\beta\):

   \[
   \alpha \approx \sin^{-1} \left( \frac{137 \times \sin(43^\circ)}{157.85} \right) \approx 34.37^\circ
   \]
   \[
   \beta = 180^\circ - 43^\circ - 34.37^\circ = 102.63^\circ
   \]

   **Clasificación**: Es un triángulo **escaleno**.

#### b. \(a = 7\), \(b = 11\), \(c = 15\)
\(\alpha = ?\), \(\beta = ?\), \(\gamma = ?\)

1. Usamos el Teorema del Coseno para hallar \(\gamma\):

   \[
   \cos(\gamma) = \frac{7^2 + 11^2 - 15^2}{2 \times 7 \times 11} \approx -0.1169
   \]
   \[
   \gamma \approx \cos^{-1}(-0.1169) \approx 96.7^\circ
   \]

2. Hallamos los otros ángulos \(\alpha\) y \(\beta\) usando el teorema del seno:

   \[
   \frac{\sin(\alpha)}{7} = \frac{\sin(96.7^\circ)}{15}
   \]
   \[
   \alpha \approx \sin^{-1} \left( \frac{7 \times \sin(96.7^\circ)}{15} \right) \approx 28.05^\circ
   \]
   \[
   \beta = 180^\circ - 96.7^\circ - 28.05^\circ \approx 55.25^\circ
   \]

   **Clasificación**: Es un triángulo **escaleno**.

### ¿Tienes alguna pregunta o te gustaría una explicación más detallada?

---

**Preguntas Relativas:**

1. ¿Qué ocurre si los ángulos de un triángulo no suman 180°?
2. ¿Cómo podemos clasificar un triángulo si conocemos solo los ángulos?
3. ¿Qué sucede si intentamos aplicar el Teorema del Seno a un triángulo rectángulo?
4. ¿Podrías usar el Teorema del Coseno en un triángulo equilátero? ¿Por qué?
5. ¿Cuál es la relación entre los lados y los ángulos en un triángulo escaleno?

**Tip**: Recuerda que el Teorema del Seno es útil cuando conocemos un ángulo y su lado opuesto, mientras que el Teorema del Coseno es más útil cuando conocemos dos lados y el ángulo entre ellos.

Learn how to solve and classify triangles using the Sine Rule and Cosine Rule with step-by-step solutions. This page covers triangle classification, angle calculations, and side length determinations. Suitable for high school students studying trigonometry.

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