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resuelve esto de manera sencilla explicando cada paso para un nivel de bachillerato

Voy a resolver el problema paso a paso de manera clara y sencilla.

### Paso 1: Entender la expresión

La expresión matemática que tenemos es:

\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{k \cdot (k+1)}{k \cdot (k+2)}
\]

Esta es una suma, donde sumamos varios términos que dependen de \(k\). \(k\) empieza desde 1 y sube hasta \(n\), un número natural.

### Paso 2: Simplificar cada término de la suma

El término dentro de la suma es:

\[
\frac{k \cdot (k+1)}{k \cdot (k+2)}
\]

Podemos simplificar este término dividiendo \(k\) en el numerador y denominador:

\[
\frac{k(k+1)}{k(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}
\]

Entonces, la expresión para la suma se reduce a:

\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k+2}
\]

### Paso 3: Evaluar la suma

Ahora, vamos a escribir los primeros términos de esta suma para ver si podemos identificar un patrón:

\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k+2} = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \frac{4}{5} + \cdots + \frac{n+1}{n+2}
\]

Aquí notamos que en la suma, los términos consecutivos se cancelan en parte. El primer término tiene un \(2\) en el numerador, el segundo término tiene un \(3\) en el numerador, y así sucesivamente, pero en cada fracción el denominador es uno más grande que el numerador del siguiente término.

Esto significa que la suma completa puede simplificarse considerablemente porque muchos de los términos se cancelarán. Específicamente, la suma se simplifica a:

\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k+2} = 1 - \frac{1}{n+2}
\]

### Paso 4: Expresión final

La expresión final para la suma es:

\[
S_n = 1 - \frac{1}{n+2}
\]

Por lo tanto, la suma de todos esos términos desde \(k=1\) hasta \(k=n\) se reduce a esta expresión.

### Resumen

Hemos simplificado la suma inicial de manera que solo necesitamos restar una fracción de 1. Este tipo de problemas son comunes en series telescópicas, donde muchos términos se cancelan y se obtiene una expresión simple al final.

---

¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles sobre algún paso?

### Preguntas relacionadas

1. ¿Cómo se reconoce una serie telescópica en un problema?
2. ¿Cuál es la importancia de la simplificación en la resolución de sumas y series?
3. ¿Qué otros métodos existen para resolver sumas con patrones?
4. ¿Cómo se comporta la expresión \(1 - \frac{1}{n+2}\) cuando \(n\) es muy grande?
5. ¿En qué otros contextos se utilizan sumas telescópicas en matemáticas?

### Tip
Cuando trabajes con sumas largas, trata de escribir los primeros términos para buscar un patrón o simplificación. Esto puede ahorrarte mucho tiempo.

Learn how to solve a telescoping series problem step-by-step. Understand the concept of telescoping series and apply it to evaluate the given mathematical expression. Suitable for Grade 12 (Bachillerato) students.

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