resolverlo solo con algebra sin hacer la sumatoria

Para resolver la serie:

\[
\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{2k + 3}} - \frac{1}{\sqrt{2k + 5}}\right)
\]

usando solo álgebra, consideremos lo siguiente:

### Paso 1: Simplificar la expresión
Primero, observemos que cada término de la serie es de la forma:

\[
a_k = \frac{1}{\sqrt{2k + 3}} - \frac{1}{\sqrt{2k + 5}}
\]

Podemos intentar agrupar estos términos de manera telescópica. Observemos lo siguiente:

\[
\frac{1}{\sqrt{2k + 3}} - \frac{1}{\sqrt{2k + 5}}
\]

### Paso 2: Utilizar un truco algebraico
Podemos escribir la diferencia como:

\[
\frac{1}{\sqrt{2k + 3}} - \frac{1}{\sqrt{2k + 5}} = \frac{\sqrt{2k + 5} - \sqrt{2k + 3}}{(\sqrt{2k + 3})(\sqrt{2k + 5})}
\]

Ahora, el numerador se puede simplificar usando la identidad para la diferencia de raíces cuadradas:

\[
\sqrt{a} - \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}
\]

donde \( a = 2k + 5 \) y \( b = 2k + 3 \):

\[
\sqrt{2k + 5} - \sqrt{2k + 3} = \frac{(2k + 5) - (2k + 3)}{\sqrt{2k + 5} + \sqrt{2k + 3}} = \frac{2}{\sqrt{2k + 5} + \sqrt{2k + 3}}
\]

Sustituyendo en la expresión original:

\[
\frac{\sqrt{2k + 5} - \sqrt{2k + 3}}{(\sqrt{2k + 3})(\sqrt{2k + 5})} = \frac{2}{(\sqrt{2k + 3} + \sqrt{2k + 5}) \cdot \sqrt{2k + 3} \cdot \sqrt{2k + 5}}
\]

### Paso 3: Simplificar la expresión resultante
Multiplicamos los términos en el denominador:

\[
= \frac{2}{\sqrt{2k + 3} \cdot (\sqrt{2k + 3} + \sqrt{2k + 5}) \cdot \sqrt{2k + 5}} = \frac{2}{(\sqrt{2k + 3})^2(\sqrt{2k + 5}) + \sqrt{2k + 3}(\sqrt{2k + 5})^2}
\]

Esta expresión no se simplifica más algebraicamente de manera significativa sin hacer la suma.

### Paso 4: Conclusión
Aunque la manipulación algebraica puede simplificar algunas expresiones, el enfoque telescópico (que evita la suma directa) revela que los términos internos de la serie se cancelan y nos quedamos solo con el primer término que es:

\[
\text{Suma} = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]

Por lo tanto, la serie converge a \(\frac{1}{\sqrt{5}}\), aunque se necesita el método telescópico para completar la solución, incluso si se usa álgebra para simplificar pasos intermedios.

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¿Te gustaría profundizar en algún punto específico o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la identidad de diferencia de raíces cuadradas en otras expresiones algebraicas?
2. ¿Qué otras series convergentes pueden resolverse usando trucos algebraicos?
3. ¿Cuál es la importancia de simplificar expresiones antes de intentar sumarlas?
4. ¿Qué otras identidades algebraicas son útiles para simplificar series?
5. ¿Cómo se define la convergencia de una serie en términos algebraicos?

### Consejo:
El uso de identidades algebraicas como la diferencia de raíces cuadradas puede simplificar el análisis de series, pero a veces es inevitable recurrir a la suma para obtener el resultado final.

Learn how to solve a telescoping series using algebraic manipulation without direct summation. This problem involves simplifying series terms using algebraic identities and telescoping properties. Suitable for advanced mathematics students.

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