已知 ae , be , ce , a.x , a.y , a.z, b.x, b.y, b.z , c.x , c.y, c.z, 求解
        (x - a.x)^2 + (y - a.y)^2 + (z - a.z)^2 - ae * ae;
        (x - b.x)^2 + (y - b.y)^2 + (z - b.z)^2 - be * be;
        (x - c.x)^2 + (y - c.y)^2 + (z - c.z)^2 - ce * ce;
        方程组，并将x,y,z以最终方程式展示出来

你提供的这个方程组其实代表了三个球面方程。每个方程的形式如下：

\[
(x - p_i)^2 + (y - q_i)^2 + (z - r_i)^2 = e_i^2
\]

其中，\((p_i, q_i, r_i)\) 代表球心的坐标，\(e_i\) 代表球的半径。

在这个问题中，已知以下参数：
- \(a.x, a.y, a.z\) 为球心A的坐标，\(ae\) 为球A的半径。
- \(b.x, b.y, b.z\) 为球心B的坐标，\(be\) 为球B的半径。
- \(c.x, c.y, c.z\) 为球心C的坐标，\(ce\) 为球C的半径。

我们有如下方程组：

\[
\begin{aligned}
(x - a.x)^2 + (y - a.y)^2 + (z - a.z)^2 &= ae^2, \\
(x - b.x)^2 + (y - b.y)^2 + (z - b.z)^2 &= be^2, \\
(x - c.x)^2 + (y - c.y)^2 + (z - c.z)^2 &= ce^2.
\end{aligned}
\]

接下来我们将消去方程组中的平方项，得到关于\(x, y, z\)的线性方程组，从而求解\(x, y, z\)。

### 步骤：
1. 展开每一个方程，得到完整的多项式表达式。
2. 对任意两个方程相减，以消去平方项。
3. 解线性方程组。

### 展开方程

先将第一个方程展开：

\[
(x - a.x)^2 + (y - a.y)^2 + (z - a.z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2a.x \cdot x - 2a.y \cdot y - 2a.z \cdot z + a.x^2 + a.y^2 + a.z^2
\]

所以完整的方程为：

\[
x^2 + y^2 + z^2 - 2(a.x \cdot x + a.y \cdot y + a.z \cdot z) + (a.x^2 + a.y^2 + a.z^2 - ae^2) = 0
\]

同样地，我们可以得到另外两个方程。

### 消去平方项

我们将第一个方程和第二个方程相减：

\[
2((b.x - a.x) \cdot x + (b.y - a.y) \cdot y + (b.z - a.z) \cdot z) = a.x^2 + a.y^2 + a.z^2 - b.x^2 - b.y^2 - b.z^2 + ae^2 - be^2
\]

这个方程是关于\(x, y, z\)的线性方程。

对第二个方程和第三个方程做同样的操作，也会得到一个线性方程。

这两个线性方程与第三个原方程

Learn how to solve a system of spherical equations involving three spheres in 3D space. This problem requires using the distance formula and manipulating quadratic equations. Suitable for advanced mathematics students.

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