resuelve este sistemas de ecuaciones: -120x+200y-80z=0, 130x-120y=150, 80y-150z=180

Para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

\[
\begin{align*}
-120x + 200y - 80z &= 0 \quad \text{(1)} \\
130x - 120y &= 150 \quad \text{(2)} \\
80y - 150z &= 180 \quad \text{(3)}
\end{align*}
\]

Voy a resolverlo paso a paso utilizando el método de sustitución o eliminación.

### Paso 1: Simplificar la ecuación (2)
Despejemos \(x\) de la ecuación (2):

\[
130x = 120y + 150
\]

\[
x = \frac{120y + 150}{130} = \frac{12y + 15}{13}
\]

### Paso 2: Substituir \(x\) en la ecuación (1)
Sustituimos \(x = \frac{12y + 15}{13}\) en la ecuación (1):

\[
-120\left(\frac{12y + 15}{13}\right) + 200y - 80z = 0
\]

Multiplicamos todo por 13 para eliminar el denominador:

\[
-120(12y + 15) + 200y \cdot 13 - 80z \cdot 13 = 0
\]

\[
-1440y - 1800 + 2600y - 1040z = 0
\]

Simplificamos:

\[
1160y - 1040z = 1800
\]

Dividimos entre 20 para simplificar la ecuación:

\[
58y - 52z = 90 \quad \text{(4)}
\]

### Paso 3: Utilizar la ecuación (3)
Tenemos:

\[
80y - 150z = 180
\]

Dividimos entre 10 para simplificar:

\[
8y - 15z = 18 \quad \text{(5)}
\]

### Paso 4: Resolver el sistema de dos ecuaciones (4) y (5)
Ahora resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (4) y (5):

\[
\begin{align*}
58y - 52z &= 90 \quad \text{(4)} \\
8y - 15z &= 18 \quad \text{(5)}
\end{align*}
\]

Multiplicamos la ecuación (5) por 7 para alinear los coeficientes de \(y\):

\[
\begin{align*}
58y - 52z &= 90 \quad \text{(4)} \\
56y - 105z &= 126 \quad \text{(6)}
\end{align*}
\]

Restamos la ecuación (6) de la ecuación (4):

\[
(58y - 56y) - (52z - (-105z)) = 90 - 126
\]

\[
2y + 53z = -36
\]

Despejamos \(y\):

\[
y = \frac{-36 - 53z}{2} \quad \text{(7)}
\]

### Paso 5: Sustituir \(y\) en la ecuación (5)
Sustituimos \(y = \frac{-36 - 53z}{2}\) en la ecuación (5):

\[
8\left(\frac{-36 - 53z}{2}\right) - 15z = 18
\]

Resolvemos:

\[
4(-36 - 53z) - 15z = 18
\]

\[
-144 - 212z - 15z = 18
\]

\[
-144 - 227z = 18
\]

\[
-227z = 18 + 144
\]

\[
-227z = 162
\]

\[
z = \frac{-162}{227}
\]

### Paso 6: Calcular \(y\) y \(x\)
Sustituimos \(z = \frac{-162}{227}\) en la ecuación (7) para obtener \(y\), luego sustituimos \(y\) en la expresión para \(x\).

Voy a hacer los cálculos.Las soluciones del sistema de ecuaciones son:

\[
x = \frac{453}{227}, \quad y = \frac{207}{227}, \quad z = \frac{-162}{227}
\]

Si deseas más detalles o tienes alguna pregunta, no dudes en decírmelo.

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Qué método prefieres para resolver sistemas de ecuaciones, sustitución o eliminación?
2. ¿Cómo podrías verificar las soluciones de este sistema?
3. ¿Qué sucede si las ecuaciones no tienen solución única?
4. ¿Cómo podrías resolver este sistema utilizando matrices?
5. ¿Podrías resolver este sistema usando el método de Gauss-Jordan?

**Tip**: Simplificar las ecuaciones desde el principio puede reducir significativamente la cantidad de cálculo.

Learn how to solve the system of linear equations: -120x+200y-80z=0, 130x-120y=150, 80y-150z=180 using the substitution and elimination methods. This detailed explanation includes key steps, simplifications, and solutions for x, y, and z. Suitable for high school students studying algebra and linear systems.

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