	Determine el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones mediante la Regla de Cramer (por determinantes):
-2x-y+z=34x+2y - z=1-x+y+2x=-1  


Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante la **Regla de Cramer**, utilizando determinantes. El sistema es:

\[
\begin{aligned}
-2x - y + z &= 3 \\
4x + 2y - z &= 1 \\
-x + y + 2z &= -1
\end{aligned}
\]

### 1. Escribimos el sistema de ecuaciones en su forma matricial:

El sistema se puede escribir en forma matricial como:

\[
A \cdot \vec{x} = \vec{b}
\]

Donde:
\[
A =
\begin{pmatrix}
-2 & -1 & 1 \\
4 & 2 & -1 \\
-1 & 1 & 2
\end{pmatrix}, \quad
\vec{x} =
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}, \quad
\vec{b} =
\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}
\]

### 2. Determinante de la matriz \(A\):

La **Regla de Cramer** establece que las soluciones \(x\), \(y\) y \(z\) se encuentran usando los determinantes de matrices derivadas de \(A\). Primero calculamos el determinante de la matriz \(A\), denotado por \( \text{det}(A) \).

\[
\text{det}(A) = 
\begin{vmatrix}
-2 & -1 & 1 \\
4 & 2 & -1 \\
-1 & 1 & 2
\end{vmatrix}
\]

### 3. Matrices para \(x\), \(y\) y \(z\):

Para encontrar \(x\), \(y\) y \(z\), reemplazamos la correspondiente columna de \(A\) por el vector \(\vec{b}\). Por ejemplo, para calcular \(x\), reemplazamos la primera columna de \(A\) por \(\vec{b}\) y hallamos el determinante. Lo mismo hacemos para \(y\) y \(z\).

\[
A_x = 
\begin{pmatrix}
3 & -1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
-1 & 1 & 2
\end{pmatrix}, \quad
A_y = 
\begin{pmatrix}
-2 & 3 & 1 \\
4 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{pmatrix}, \quad
A_z = 
\begin{pmatrix}
-2 & -1 & 3 \\
4 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\]

### 4. Cálculo de las soluciones:

Ahora vamos a calcular los determinantes \( \text{det}(A) \), \( \text{det}(A_x) \), \( \text{det}(A_y) \), \( \text{det}(A_z) \) para encontrar las soluciones \(x\), \(y\) y \(z\) según la fórmula:

\[
x = \frac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}, \quad y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}, \quad z = \frac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)}
\]

Voy a calcular esos valores.import numpy as np

# Matriz A
A = np.array([[-2, -1, 1],
              [4, 2, -1],
              [-1, 1, 2]])

# Matrices A_x, A_y, A_z
A_x = np.array([[3, -1, 1],
                [1, 2, -1],
                [-1, 1, 2]])

A_y = np.array([[-2, 3, 1],
                [4, 1, -1],
                [-1, -1, 2]])

A_z = np.array([[-2, -1, 3],
                [4, 2, 1],
                [-1, 1, -1]])

# Calculo de los determinantes
det_A = np.linalg.det(A)
det_A_x = np.linalg.det(A_x)
det_A_y = np.linalg.det(A_y)
det_A_z = np.linalg.det(A_z)

# Soluciones
x = det_A_x / det_A
y = det_A_y / det_A
z = det_A_z / det_A

det_A, det_A_x, det_A_y, det_A_z, x, y, zLos determinantes calculados son:

\[
\text{det}(A) = 3, \quad \text{det}(A_x) = 19, \quad \text{det}(A_y) = -26, \quad \text{det}(A_z) = 21
\]

Por lo tanto, las soluciones del sistema de ecuaciones son:

\[
x = \frac{19}{3} = 6.33, \quad y = \frac{-26}{3} = -8.67, \quad z = \frac{21}{3} = 7
\]

### Conjunto solución:
\[
(x, y, z) = \left(6.33, -8.67, 7\right)
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué es la Regla de Cramer y cómo se usa en sistemas lineales?
2. ¿Qué sucede si el determinante de la matriz \( A \) es 0?
3. ¿En qué casos no es posible aplicar la Regla de Cramer?
4. ¿Cómo afecta una pequeña variación en los coeficientes al resultado?
5. ¿Se puede utilizar la Regla de Cramer en sistemas no lineales?
6. ¿Cuándo es más eficiente usar otros métodos en lugar de la Regla de Cramer?
7. ¿Cómo se relaciona la Regla de Cramer con la inversa de una matriz?
8. ¿Qué ventajas ofrece la Regla de Cramer para sistemas pequeños?

### Tip:
Recuerda que la Regla de Cramer es más eficiente en sistemas pequeños debido al alto costo computacional del cálculo de determinantes para matrices grandes.

Learn how to solve a system of equations using Cramer's Rule and determinants. This detailed step-by-step solution covers the application of Cramer's Rule to find solutions for a given set of linear equations. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation