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Para resolver la inecuación dada en la imagen:

\[
\frac{mx}{m-2} - \frac{x-1}{3} < \frac{2x + 3}{4}
\]

Vamos a seguir los siguientes pasos:

### Paso 1: Eliminar denominadores
Para eliminar los denominadores, multiplicamos toda la inecuación por el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores \( m-2 \), \( 3 \), y \( 4 \).

El MCM de \( m-2 \), \( 3 \), y \( 4 \) es \( 12(m-2) \).

\[
12(m-2) \cdot \left(\frac{mx}{m-2} - \frac{x-1}{3}\right) < 12(m-2) \cdot \frac{2x + 3}{4}
\]

### Paso 2: Simplificar cada término
Distribuimos y simplificamos cada término:

1. \( 12(m-2) \cdot \frac{mx}{m-2} = 12mx \)
2. \( 12(m-2) \cdot \frac{x-1}{3} = 4(m-2)(x-1) \)
3. \( 12(m-2) \cdot \frac{2x+3}{4} = 3(m-2)(2x + 3) \)

Así, la inecuación se convierte en:

\[
12mx - 4(m-2)(x-1) < 3(m-2)(2x + 3)
\]

### Paso 3: Expandir y simplificar
Expandimos los productos:

\[
12mx - 4[mx - x + 2] < 3[2mx + 3m - 4x - 6]
\]

Expandiendo:

\[
12mx - 4mx + 8x - 8 < 6mx + 9m - 12x - 18
\]

### Paso 4: Reorganizar términos
Reorganizamos todos los términos en un solo lado de la inecuación:

\[
(12mx - 4mx - 6mx) + (8x + 12x) < 9m - 18 + 8
\]

Simplificamos:

\[
2mx + 20x < 9m - 10
\]

### Paso 5: Despejar \( x \)
Finalmente, despejamos \( x \):

\[
x(2m + 20) < 9m - 10
\]

\[
x < \frac{9m - 10}{2m + 20}
\]

### Paso 6: Comparar con las opciones
Las opciones dadas son:

a) \( x > \frac{m-2}{2(m+10)} \)  
b) \( x > \frac{5(m-2)}{m+10} \)  
c) \( x < \frac{5(m-2)}{2(m+10)} \)  
d) \( x < \frac{5(m-2)}{m+10} \)  
e) \( x > \frac{m-2}{2(m-10)} \)  

Comparando con la expresión obtenida, la opción correcta que corresponde es **opción c)**.

### ¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles?

---

### Preguntas Relativas:
1. ¿Cómo afecta el signo de \( m \) a la solución de la inecuación?
2. ¿Qué pasa si \( m = 2 \) o \( m = -2 \) en el contexto de la inecuación?
3. ¿Cómo podrías comprobar si la opción c) es la correcta a través de un ejemplo numérico?
4. ¿Cómo se manejaría si \( m \) fuera una constante específica dentro del intervalo dado?
5. ¿Qué ocurre si cambiamos el intervalo de \( m \) a un rango diferente?

### Tip:
Cuando trabajes con inecuaciones que incluyen parámetros, considera siempre los posibles valores del parámetro que podrían afectar la validez de la solución.

Learn how to solve a complex rational inequality involving rational expressions step-by-step. This problem covers inequalities, rational expressions, and algebraic simplification. Suitable for advanced high school students.

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