Determiner l'ensemble de definition et résoudre l'equation suivante (5x-3)/(x+1)=2

Pour résoudre l'équation \(\frac{5x - 3}{x + 1} = 2\) et déterminer son ensemble de définition, procédons par étapes :

### 1. **Déterminer l'ensemble de définition**
L'expression \(\frac{5x - 3}{x + 1}\) est une fraction rationnelle. L'ensemble de définition est l'ensemble des réels \(x\) pour lesquels le dénominateur n'est pas égal à zéro.

Le dénominateur est \(x + 1\). Donc, nous devons exclure la valeur de \(x\) qui rend le dénominateur nul :

\[
x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1
\]

Ainsi, l'ensemble de définition est \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).

### 2. **Résolution de l'équation**
Nous allons maintenant résoudre l'équation \(\frac{5x - 3}{x + 1} = 2\).

Multiplions les deux côtés de l'équation par \(x + 1\) (en supposant que \(x \neq -1\), ce qui est déjà pris en compte par l'ensemble de définition) :

\[
\frac{5x - 3}{x + 1} \cdot (x + 1) = 2 \cdot (x + 1)
\]

Cela simplifie l'équation à :

\[
5x - 3 = 2(x + 1)
\]

Développons et simplifions :

\[
5x - 3 = 2x + 2
\]

Soustrayons \(2x\) des deux côtés :

\[
5x - 2x - 3 = 2
\]

Cela donne :

\[
3x - 3 = 2
\]

Ajoutons \(3\) des deux côtés :

\[
3x = 5
\]

Divisons par \(3\) :

\[
x = \frac{5}{3}
\]

### 3. **Conclusion**
L'ensemble de définition est \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\), et la solution de l'équation est \(x = \frac{5}{3}\).

---

Avez-vous besoin de plus de détails ou d'explications supplémentaires ?

### Questions associées :
1. Comment résoudre une équation rationnelle avec plusieurs fractions ?
2. Quelle est l'importance de l'ensemble de définition dans la résolution d'équations ?
3. Comment résoudre une équation quadratique résultant de la simplification d'une équation rationnelle ?
4. Quelles sont les méthodes pour vérifier la solution d'une équation rationnelle ?
5. Comment interpréter graphiquement la solution d'une équation rationnelle ?

### Astuce :
Lorsque vous travaillez avec des équations rationnelles, il est crucial de toujours vérifier les valeurs exclues du domaine pour éviter des solutions qui ne sont pas valides.

Explore how to determine the domain of the rational equation (5x-3)/(x+1)=2 and solve it step-by-step. This algebra problem covers key concepts such as rational functions, domain of definition, and solving rational equations. Suitable for students in Grades 9-11.

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