puedes resolverla aplicando la propiedad de logaritmo por definición 

Claro, podemos resolver la ecuación \(2 \log(X) = \log(4X + 12)\) aplicando la propiedad del logaritmo por definición. Aquí te muestro cómo se hace:

### Paso 1: Reescribir la ecuación original

La ecuación es:

\[
2 \log(X) = \log(4X + 12)
\]

### Paso 2: Aplicar la definición de logaritmo

La definición de logaritmo dice que si \(\log_b(A) = C\), entonces \(b^C = A\). Aunque la base no está explícita, normalmente se asume que es 10 (logaritmo común) o \(e\) (logaritmo natural) si no se especifica.

### Paso 3: Simplificar el lado izquierdo usando la propiedad de potencia del logaritmo

Primero, simplifiquemos el lado izquierdo de la ecuación usando la propiedad de logaritmos:

\[
2 \log(X) = \log(X^2)
\]

Ahora la ecuación queda:

\[
\log(X^2) = \log(4X + 12)
\]

### Paso 4: Aplicar la definición de logaritmo

Dado que \(\log(A) = \log(B)\) implica que \(A = B\), podemos igualar los argumentos:

\[
X^2 = 4X + 12
\]

### Paso 5: Resolver la ecuación cuadrática

Ahora, resuelve la ecuación cuadrática resultante:

\[
X^2 - 4X - 12 = 0
\]

Esta ecuación cuadrática se puede resolver usando la fórmula cuadrática:

\[
X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde:
- \(a = 1\)
- \(b = -4\)
- \(c = -12\)

Sustituyendo los valores:

\[
X = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)}
\]

\[
X = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}
\]

\[
X = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}
\]

\[
X = \frac{4 \pm 8}{2}
\]

Esto nos da dos soluciones:

\[
X_1 = 6
\]

\[
X_2 = -2
\]

### Paso 6: Verificar las soluciones

Debido a que los logaritmos solo están definidos para números positivos, \(X = -2\) no es válido, ya que el logaritmo de un número negativo no existe en los números reales.

Por lo tanto, la única solución válida es:

\[
\boxed{X = 6}
\]

¿Tienes alguna pregunta adicional o te gustaría más detalles? Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se utiliza la definición del logaritmo para resolver otros tipos de ecuaciones?
2. ¿Qué ocurre si en lugar de logaritmos en base 10 se utilizan logaritmos naturales?
3. ¿Cuáles son las diferencias entre resolver una ecuación logarítmica usando propiedades y usando definiciones?
4. ¿Cómo afecta el dominio de la función logaritmo al resolver ecuaciones?
5. ¿Qué métodos alternativos se pueden usar para verificar soluciones en ecuaciones logarítmicas?

**Tip:** Siempre verifica el dominio de las funciones involucradas al resolver ecuaciones logarítmicas para asegurarte de que las soluciones sean válidas.

Learn how to solve the logarithmic equation 2 log(X) = log(4X + 12) step-by-step with a detailed explanation. This problem covers key concepts in logarithms and quadratic equations, including the use of logarithm definition and the quadratic formula. Suitable for students in Grades 10-12.

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