resuelve ecuación logaritmica aplicando propiedades 2 log X=log (4X+12)

Para resolver la ecuación logarítmica \(2 \log(X) = \log(4X + 12)\), sigamos estos pasos:

### Paso 1: Aplicar la propiedad del logaritmo

La propiedad que vamos a usar es:

\[
a \cdot \log(b) = \log(b^a)
\]

Aplicamos esta propiedad al lado izquierdo de la ecuación:

\[
2 \log(X) = \log(X^2)
\]

Por lo tanto, la ecuación queda:

\[
\log(X^2) = \log(4X + 12)
\]

### Paso 2: Igualar los argumentos

Si los logaritmos de dos expresiones son iguales, entonces sus argumentos deben ser iguales:

\[
X^2 = 4X + 12
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática

Ahora resolvemos la ecuación cuadrática:

\[
X^2 - 4X - 12 = 0
\]

Podemos usar la fórmula general para resolverla:

\[
X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde:
- \(a = 1\)
- \(b = -4\)
- \(c = -12\)

Sustituyendo los valores:

\[
X = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)}
\]

\[
X = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}
\]

\[
X = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2}
\]

\[
X = \frac{4 \pm 8}{2}
\]

Esto nos da dos soluciones:

\[
X_1 = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6
\]

\[
X_2 = \frac{4 - 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2
\]

### Paso 4: Verificar las soluciones

Debemos verificar si las soluciones son válidas dentro del contexto de la ecuación original, ya que el logaritmo solo está definido para argumentos positivos.

Para \(X = 6\):

\[
2 \log(6) = \log(4(6) + 12) \quad \text{(ambos argumentos son positivos, por lo que es válida)}
\]

Para \(X = -2\):

\[
2 \log(-2) \quad \text{(no es válida porque el logaritmo de un número negativo no está definido)}
\]

Por lo tanto, la única solución válida es:

\[
\boxed{X = 6}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplican otras propiedades de logaritmos en diferentes ecuaciones?
2. ¿Cuál es la importancia de verificar las soluciones en ecuaciones logarítmicas?
3. ¿Cómo resolverías una ecuación logarítmica con logaritmos en diferentes bases?
4. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones cuadráticas?
5. ¿Cómo afectan las restricciones de dominio en ecuaciones logarítmicas?

**Tip:** Siempre verifica que las soluciones encontradas satisfacen las condiciones de existencia del logaritmo (argumentos positivos).

Learn how to solve the logarithmic equation 2 log X = log (4X + 12) with a detailed step-by-step solution. This problem involves logarithmic properties and quadratic equations. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation