Determine el valor de ﻿a pertenece normal números reales﻿, para que ﻿paréntesis izquierdo f o g paréntesis derecho paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual paréntesis izquierdo g o f paréntesis derecho paréntesis izquierdo x paréntesis derecho﻿, donde ﻿f paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 3 x más a﻿ y ﻿g paréntesis izquierdo x paréntesis derecho igual 2 menos 5 x

Para resolver el problema, primero tenemos que interpretar correctamente las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \), y luego encontrar el valor de \( a \) para que \( (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) \), donde \( (f \circ g)(x) \) significa la composición de \( f \) aplicada a \( g(x) \), es decir, \( f(g(x)) \), y \( (g \circ f)(x) \) significa la composición de \( g \) aplicada a \( f(x) \), es decir, \( g(f(x)) \).

### Definiciones:
- \( f(x) = 3x + a \)
- \( g(x) = 2 - 5x \)

### Paso 1: Calcular \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \)
Para calcular \( f(g(x)) \), sustituimos \( g(x) \) en \( f(x) \):
\[
f(g(x)) = f(2 - 5x) = 3(2 - 5x) + a = 6 - 15x + a
\]
Por lo tanto, \( (f \circ g)(x) = 6 - 15x + a \).

### Paso 2: Calcular \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
Ahora calculamos \( g(f(x)) \) sustituyendo \( f(x) \) en \( g(x) \):
\[
g(f(x)) = g(3x + a) = 2 - 5(3x + a) = 2 - 15x - 5a
\]
Por lo tanto, \( (g \circ f)(x) = 2 - 15x - 5a \).

### Paso 3: Igualar \( (f \circ g)(x) \) y \( (g \circ f)(x) \)
Ahora igualamos ambas expresiones para encontrar el valor de \( a \):
\[
6 - 15x + a = 2 - 15x - 5a
\]
Simplificamos eliminando los términos comunes \( -15x \) de ambos lados:
\[
6 + a = 2 - 5a
\]
Sumamos \( 5a \) a ambos lados:
\[
6 + 6a = 2
\]
Restamos 6 de ambos lados:
\[
6a = -4
\]
Dividimos entre 6:
\[
a = -\frac{2}{3}
\]

### Resultado:
El valor de \( a \) es \( a = -\frac{2}{3} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se define formalmente la composición de funciones?
2. ¿Cómo afectan las transformaciones lineales a la composición de funciones?
3. ¿Qué sucede si cambias la función \( g(x) \) en este problema?
4. ¿Cómo resolverías la ecuación si \( f(x) \) y \( g(x) \) fueran funciones cuadráticas?
5. ¿Qué otro tipo de funciones puedes componer de manera similar a las funciones lineales?

### Tip:
Cuando compongas funciones, es útil escribir claramente cada paso para evitar errores en las sustituciones.

Find the value of 'a' for the equation (f ∘ g)(x) = (g ∘ f)(x), where f(x) = 3x + a and g(x) = 2 - 5x. This detailed step-by-step solution covers function composition, linear functions, and algebraic manipulation. Suitable for students in Grades 9-12.

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