reuelve la sguiente ecuacion diferencial con valores iniciales utilizando variables separables: dx/dt=4(x^2+1); x(pi/4)=1

Para resolver la ecuación diferencial dada utilizando el método de variables separables, seguimos estos pasos:

### Ecuación diferencial:

\[
\frac{dx}{dt} = 4(x^2 + 1)
\]

### Paso 1: Separar las variables
Reescribimos la ecuación de forma que todas las \(x\) estén en un lado y todas las \(t\) en el otro:

\[
\frac{dx}{x^2 + 1} = 4 \, dt
\]

### Paso 2: Integrar ambos lados
Integramos ambos lados de la ecuación:

\[
\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \int 4 \, dt
\]

La integral del lado izquierdo es una integral estándar:

\[
\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \arctan(x)
\]

La integral del lado derecho es:

\[
\int 4 \, dt = 4t + C
\]

Entonces, tenemos:

\[
\arctan(x) = 4t + C
\]

### Paso 3: Resolver para \(x\)
Para encontrar \(x\), despejamos \(x\) de la ecuación anterior:

\[
x = \tan(4t + C)
\]

### Paso 4: Usar la condición inicial
Usamos la condición inicial \(x\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\) para encontrar \(C\):

\[
1 = \tan\left(4 \cdot \frac{\pi}{4} + C\right)
\]

Simplificamos:

\[
1 = \tan\left(\pi + C\right)
\]

Sabemos que \(\tan(\pi + C) = \tan(C)\), entonces:

\[
\tan(C) = 1
\]

Esto implica que:

\[
C = \frac{\pi}{4} + n\pi \quad \text{donde \(n\) es un entero.}
\]

Para simplificar, tomamos \(C = \frac{\pi}{4}\) (considerando \(n=0\)):

\[
x = \tan\left(4t + \frac{\pi}{4}\right)
\]

### Respuesta Final:
La solución de la ecuación diferencial con la condición inicial dada es:

\[
x(t) = \tan\left(4t + \frac{\pi}{4}\right)
\]

---

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplicarían los métodos numéricos para resolver esta ecuación diferencial?
2. ¿Qué ocurre si el valor inicial es diferente?
3. ¿Cómo afecta un cambio en el coeficiente de \(4\) en la ecuación diferencial?
4. ¿Cuál es la interpretación gráfica de la solución encontrada?
5. ¿Qué técnicas alternativas se pueden utilizar para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales?

### Tip:
Recuerda que \(\tan(\pi + x) = \tan(x)\), lo cual es útil al simplificar expresiones trigonométricas en problemas como este.

Learn how to solve the differential equation dx/dt = 4(x^2 + 1) with initial condition x(pi/4)=1 using the method of separable variables. This problem covers differential equations, separable variables, and tangent function properties. Suitable for university-level students and learners interested in differential equations.

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