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Resolver este ejercicio de 3x3 por la ley de Gauss 

Para resolver el sistema de ecuaciones por el método de Gauss, seguiremos los pasos para llevar la matriz aumentada a su forma escalonada y luego resolveremos las ecuaciones resultantes. El sistema de ecuaciones es:

\[
\begin{cases}
3x - 2y + z = 13 \\
5x - 2y + 2z = 24 \\
-3x + y - z = -14
\end{cases}
\]

Primero, escribimos la matriz aumentada del sistema:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
3 & -2 & 1 & 13 \\
5 & -2 & 2 & 24 \\
-3 & 1 & -1 & -14
\end{array}\right]
\]

**Paso 1: Convertir el primer elemento de la primera fila en 1 (si no lo es ya)**

Dividimos la primera fila por 3:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{13}{3} \\
5 & -2 & 2 & 24 \\
-3 & 1 & -1 & -14
\end{array}\right]
\]

**Paso 2: Hacer ceros debajo del primer pivote**

Para la segunda fila, restamos 5 veces la primera fila a la segunda fila:
\[
R2 = R2 - 5R1
\]

Para la tercera fila, sumamos 3 veces la primera fila a la tercera fila:
\[
R3 = R3 + 3R1
\]

Aplicando estas operaciones:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{13}{3} \\
0 & -\frac{4}{3} & \frac{7}{3} & \frac{47}{3} \\
0 & -1 & 0 & -9
\end{array}\right]
\]

**Paso 3: Convertir el segundo elemento de la segunda fila en 1**

Multiplicamos la segunda fila por \(-\frac{3}{4}\):

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{13}{3} \\
0 & 1 & -\frac{7}{4} & -\frac{47}{4} \\
0 & -1 & 0 & -9
\end{array}\right]
\]

**Paso 4: Hacer ceros arriba y abajo del segundo pivote**

Para la primera fila, sumamos \(\frac{2}{3}\) veces la segunda fila a la primera fila:
\[
R1 = R1 + \frac{2}{3}R2
\]

Para la tercera fila, sumamos la segunda fila a la tercera fila:
\[
R3 = R3 + R2
\]

Aplicando estas operaciones:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & -7 \\
0 & 1 & -\frac{7}{4} & -\frac{47}{4} \\
0 & 0 & -\frac{7}{4} & -\frac{83}{4}
\end{array}\right]
\]

**Paso 5: Convertir el tercer elemento de la tercera fila en 1**

Multiplicamos la tercera fila por \(-\frac{4}{7}\):

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & -7 \\
0 & 1 & -\frac{7}{4} & -\frac{47}{4} \\
0 & 0 & 1 & \frac{83}{7}
\end{array}\right]
\]

**Paso 6: Hacer ceros arriba del tercer pivote**

Para la primera fila, sumamos la tercera fila a la primera fila:
\[
R1 = R1 + R3
\]

Para la segunda fila, sumamos \(\frac{7}{4}\) veces la tercera fila a la segunda fila:
\[
R2 = R2 + \frac{7}{4}R3
\]

Aplicando estas operaciones:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 1 & 0 & -5 \\
0 & 0 & 1 & \frac{83}{7}
\end{array}\right]
\]

**Solución:**

De la matriz resultante, podemos leer directamente la solución:

\[
\begin{cases}
x = 5 \\
y = -5 \\
z = \frac{83}{7}
\end{cases}
\]

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es \( x = 5 \), \( y = -5 \), \( z = \frac{83}{7} \).

¿Quieres más detalles sobre este proceso o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:
1. ¿Cómo se determina la solución de un sistema de ecuaciones lineales si no tiene una solución única?
2. ¿Qué es la forma escalonada reducida de una matriz?
3. ¿Cuáles son las diferencias entre el método de Gauss y el método de Gauss-Jordan?
4. ¿Cómo se verifica la solución de un sistema de ecuaciones lineales?
5. ¿Qué es un determinante y cómo se utiliza en la resolución de sistemas de ecuaciones?
6. ¿Qué es una matriz inversa y cómo se calcula?
7. ¿Cómo afectan las operaciones elementales en las filas a la solución de un sistema de ecuaciones?
8. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

**Tip:** Al resolver sistemas de ecuaciones por el método de Gauss, asegúrate de realizar correctamente las operaciones elementales para evitar errores y obtener la solución correcta.

Learn how to solve a 3x3 system of linear equations using Gauss' law. Step-by-step solution method includes converting the augmented matrix to row-echelon form and solving the resulting equations. Suitable for advanced high school and college-level students.

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