realiza el siguiente polinomio (x ^ 5 - y ^ 5) + (1/10 * x ^ 3 * y ^ 2 - 3/4 * x * y ^ 4 - 1/6 * y ^ 5) + (3/5 * x ^ 4 * y - 5/6 * x ^ 2 * y ^ 3 - 1/9 * y ^ 5) + (2x ^ 4 * y - 2/5 * x ^ 2 * y ^ 2 - 1/3 * y ^ 5)

Vamos a simplificar el polinomio dado paso a paso, combinando términos semejantes.

El polinomio original es:

\[
(x^5 - y^5) + \left(\frac{1}{10} x^3 y^2 - \frac{3}{4} x y^4 - \frac{1}{6} y^5\right) + \left(\frac{3}{5} x^4 y - \frac{5}{6} x^2 y^3 - \frac{1}{9} y^5\right) + \left(2x^4 y - \frac{2}{5} x^2 y^2 - \frac{1}{3} y^5\right)
\]

**Paso 1: Expandir y agrupar términos semejantes**

Primero, reescribimos todos los términos juntos:

\[
x^5 - y^5 + \frac{1}{10} x^3 y^2 - \frac{3}{4} x y^4 - \frac{1}{6} y^5 + \frac{3}{5} x^4 y - \frac{5}{6} x^2 y^3 - \frac{1}{9} y^5 + 2x^4 y - \frac{2}{5} x^2 y^2 - \frac{1}{3} y^5
\]

Ahora, agrupamos términos semejantes:

\[
x^5 + \left(\frac{3}{5}x^4 y + 2x^4 y\right) + \frac{1}{10} x^3 y^2 - \left(\frac{5}{6}x^2 y^3 + \frac{2}{5}x^2 y^2\right) - \frac{3}{4}x y^4 - \left(y^5 + \frac{1}{6}y^5 + \frac{1}{9}y^5 + \frac{1}{3}y^5\right)
\]

**Paso 2: Simplificar cada grupo de términos**

1. Términos con \(x^5\):

\[
x^5
\]

2. Términos con \(x^4 y\):

\[
\frac{3}{5} x^4 y + 2x^4 y = \frac{3}{5} x^4 y + \frac{10}{5} x^4 y = \frac{13}{5} x^4 y
\]

3. Términos con \(x^3 y^2\):

\[
\frac{1}{10} x^3 y^2
\]

4. Términos con \(x^2 y^3\):

\[
-\frac{5}{6} x^2 y^3 - \frac{2}{5} x^2 y^2 = -\frac{5}{6} x^2 y^3 - \frac{2}{5} x^2 y^2
\]

5. Términos con \(x y^4\):

\[
-\frac{3}{4} x y^4
\]

6. Términos con \(y^5\):

\[
-y^5 - \frac{1}{6} y^5 - \frac{1}{9} y^5 - \frac{1}{3} y^5 = -\left(1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3}\right) y^5
\]

Simplificando la suma de fracciones:

\[
1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{18}{18} + \frac{3}{18} + \frac{2}{18} + \frac{6}{18} = \frac{29}{18}
\]

Entonces:

\[
-y^5 - \frac{29}{18} y^5 = -\frac{47}{18} y^5
\]

**Paso 3: Escribir el polinomio simplificado**

Combinando todos los términos, obtenemos:

\[
x^5 + \frac{13}{5} x^4 y + \frac{1}{10} x^3 y^2 - \frac{5}{6} x^2 y^3 - \frac{2}{5} x^2 y^2 - \frac{3}{4} x y^4 - \frac{47}{18} y^5
\]

Este es el polinomio simplificado.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Cómo se simplifican fracciones al sumar polinomios?
2. ¿Por qué se agrupan términos semejantes en los polinomios?
3. ¿Qué otros métodos se pueden utilizar para simplificar polinomios?
4. ¿Cómo afecta la reducción de fracciones al simplificar polinomios?
5. ¿Qué pasa si hay coeficientes negativos en un polinomio?

**Tip:** Al simplificar polinomios, asegúrate de combinar solo los términos que tienen exactamente la misma base y exponentes.

Learn how to simplify the polynomial (x^5 - y^5) + (1/10 * x^3 * y^2 - 3/4 * x * y^4 - 1/6 * y^5) + (3/5 * x^4 * y - 5/6 * x^2 * y^3 - 1/9 * y^5) + (2x^4 * y - 2/5 * x^2 * y^2 - 1/3 * y^5) step-by-step. This problem involves combining like terms and simplifying fractions, suitable for advanced high school students.

Simplify Polynomial (x^5 - y^5) + (1/10 * x^3 * y^2 - 3/4 * x * y^4 - 1/6 * y^5) + (3/5 * x^4 * y - 5/6 * x^2 * y^3 - 1/9 * y^5) + (2x^4 * y - 2/5 * x^2 * y^2 - 1/3 * y^5)

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