Simplifique la siguiente expresión utilizando las equivalencias lógicas (¬P ∧Q)∨[¬(Q∧R)∧¬P]∨(P ∧¬R)

Para simplificar la expresión lógica \((¬P ∧ Q) ∨ [¬(Q ∧ R) ∧ ¬P] ∨ (P ∧ ¬R)\), seguiremos paso a paso aplicando las equivalencias lógicas.

### Expresión original:
\[
(¬P ∧ Q) ∨ [¬(Q ∧ R) ∧ ¬P] ∨ (P ∧ ¬R)
\]

### Paso 1: Simplificación de la negación \( ¬(Q ∧ R) \)
Usamos la **ley de De Morgan** para simplificar \( ¬(Q ∧ R) \):

\[
¬(Q ∧ R) = ¬Q ∨ ¬R
\]

Sustituyendo en la expresión original, obtenemos:

\[
(¬P ∧ Q) ∨ [(¬Q ∨ ¬R) ∧ ¬P] ∨ (P ∧ ¬R)
\]

### Paso 2: Distribución de \( (¬Q ∨ ¬R) ∧ ¬P \)
Distribuimos \( (¬Q ∨ ¬R) ∧ ¬P \):

\[
(¬Q ∨ ¬R) ∧ ¬P = (¬Q ∧ ¬P) ∨ (¬R ∧ ¬P)
\]

Sustituyendo en la expresión, tenemos:

\[
(¬P ∧ Q) ∨ [(¬Q ∧ ¬P) ∨ (¬R ∧ ¬P)] ∨ (P ∧ ¬R)
\]

### Paso 3: Asociatividad y agrupación
Agrupamos y asociamos términos semejantes:

\[
[(¬P ∧ Q) ∨ (¬Q ∧ ¬P) ∨ (¬R ∧ ¬P)] ∨ (P ∧ ¬R)
\]

Observamos que podemos factorizar \( ¬P \) en el primer grupo:

\[
¬P ∧ (Q ∨ ¬Q ∨ ¬R) ∨ (P ∧ ¬R)
\]

### Paso 4: Simplificación usando tautología
Dado que \( Q ∨ ¬Q \) es una **tautología** (siempre verdadero), la expresión dentro del paréntesis se simplifica a:

\[
Q ∨ ¬Q ∨ ¬R = \text{Verdadero} ∨ ¬R = \text{Verdadero}
\]

Por lo tanto, tenemos:

\[
¬P ∨ (P ∧ ¬R)
\]

### Paso 5: Aplicación de la Distributiva
Podemos aplicar la **distributiva** sobre la disyunción:

\[
¬P ∨ P ∨ ¬P ∧ ¬R
\]

Sabemos que \( ¬P ∨ P \) es también una tautología (siempre verdadero), por lo tanto:

\[
\text{Verdadero} ∨ ¬P ∧ ¬R = \text{Verdadero}
\]

### Resultado Final:
La expresión simplificada es simplemente:

\[
\text{Verdadero}
\]

Esto significa que la expresión dada es siempre verdadera, independientemente de los valores de \( P \), \( Q \) y \( R \).

---

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplican las leyes de De Morgan en otras expresiones lógicas?
2. ¿Qué es una tautología y cómo se identifica en una expresión lógica?
3. ¿Cómo afecta la distribución en la simplificación de expresiones lógicas?
4. ¿Qué son las equivalencias lógicas más comunes y cuándo se usan?
5. ¿Cómo se pueden usar tablas de verdad para verificar la validez de una simplificación lógica?

**Tip:** En lógica, siempre verifica si una expresión se puede simplificar utilizando las leyes de De Morgan y buscando tautologías, ya que estas técnicas a menudo simplifican de manera significativa.

Aprende cómo simplificar la expresión lógica (¬P ∧Q)∨[¬(Q∧R)∧¬P]∨(P ∧¬R) utilizando las leyes de De Morgan y la distribución en lógica proposicional. Esta solución detallada cubre conceptos clave como la negación, la conjunción, y la distribución en lógica proposicional.

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