https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1724935175502wbo91uw0.jpg

Résoud cette suite en français niveau prepa ect 1ère année 

D'accord, je vais résoudre l'exercice en français.

### Exercice 4

On pose \( u_n = \frac{2n + 1}{n} \) pour tout entier naturel \( n \geq 1 \).

#### 1) Montrer que l'on définit ainsi une suite \( (u_n) \) de nombres réels strictement positifs.

- **Solution :**
  \[
  u_n = \frac{2n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n}
  \]
  Puisque \( n \) est un entier naturel \( \geq 1 \), \( u_n \) est la somme de \(2\) et \( \frac{1}{n} \), deux nombres strictement positifs. Donc, \( u_n \) est strictement positif pour tout \( n \geq 1 \).

  - **Monotonie croissante :**
    Pour montrer que la suite est croissante, comparons \( u_{n+1} \) à \( u_n \) :
    \[
    u_{n+1} = 2 + \frac{1}{n+1}
    \]
    Or, \( \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \), donc \( u_{n+1} > u_n \), ce qui prouve que \( u_n \) est une suite croissante.

#### 2) Écrire la fonction Python ci-dessous pour qu'elle renvoie la valeur de \( u_n \), à l'appel de suite(n) :

```python
def suite(n):
    u = (2*n + 1)/n
    return u
```
Cette fonction Python calcule correctement la valeur de \( u_n \) pour un entier \( n \) donné.

#### 3) Donner la valeur de \( u_1 \), puis vérifier que \( n = 1 \).

- **Solution :**
  En remplaçant \( n = 1 \) dans l'expression de \( u_n \) :
  \[
  u_1 = \frac{2(1) + 1}{1} = 3
  \]
  Donc, \( u_1 = 3 \).

#### 4) Utiliser la définition et la limite de \( (u_n) \). La suite est-elle convergente ?

- **Solution :**
  Calculons la limite de \( u_n \) lorsque \( n \) tend vers l'infini :
  \[
  \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \left( 2 + \frac{1}{n} \right) = 2
  \]
  Ainsi, la limite \( L = 2 \) et la suite est convergente.

#### 5) La suite est-elle convergente ou divergente ? Justifier.

- **Solution :**
  La suite \( u_n \) est convergente car elle tend vers une limite finie, à savoir 2.

---

Si vous avez des questions supplémentaires ou besoin de plus de détails, n'hésitez pas à demander.

### Questions associées :

1. Comment prouver qu'une suite est croissante ou décroissante ?
2. Quelles sont les propriétés des suites convergentes ?
3. Comment utiliser Python pour explorer des suites plus complexes ?
4. Quelles autres méthodes existent pour calculer la limite d'une suite ?
5. Comment peut-on visualiser la convergence d'une suite avec un graphe ?

**Astuce :** Lors de la résolution des suites, vérifiez toujours les propriétés de monotonie et de positivité, ce qui peut grandement faciliter la détermination de la convergence.

Découvrez comment résoudre la suite numérique en français de niveau prépa ECS 1ère année avec une méthode détaillée. Analyse de la monotonie, calcul de limite et démonstration de convergence incluant la formule u_n = (2n + 1)/n. Idéal pour les étudiants préparant l'entrée en prépa ECS.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation