1+1/2+1/3...1/n Determiner les sens de cette suite

La suite que vous mentionnez est la somme partielle des inverses des entiers naturels : 

\[
S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}
\]

Cette suite est connue sous le nom de **somme harmonique**. Elle est définie par :

\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}
\]

### Sens de cette suite

1. **Monotonie** : La suite \(S_n\) est **croissante**. En effet, chaque nouveau terme ajouté à la somme est positif, donc \(S_{n+1} > S_n\) pour tout \(n \geq 1\).

2. **Convergence** : La suite **ne converge pas**. Bien qu'elle croisse lentement, elle tend vers l'infini. En d'autres termes, la somme des inverses des entiers ne converge pas vers une valeur finie lorsque \(n\) tend vers l'infini.

3. **Divergence logarithmique** : La suite diverge très lentement, et son comportement asymptotique peut être approximé par une fonction logarithmique. Plus précisément, on a :

\[
S_n \sim \ln(n) + \gamma
\]

où \(\gamma\) est la constante d'Euler-Mascheroni (environ 0,577).

Ainsi, la suite des sommes harmoniques tend vers l'infini, mais de manière très lente.

### Résumé des propriétés :
- Croissante : Oui.
- Convergente : Non.
- Asymptotiquement équivalente à : \(\ln(n) + \gamma\).

Avez-vous besoin de plus de détails ou des questions à ce sujet ?

Voici 5 questions relatives :
1. Quelle est la vitesse de divergence de la somme harmonique ?
2. Comment se calcule la constante d'Euler-Mascheroni \(\gamma\) ?
3. Quelle est l'influence de chaque terme sur la croissance de \(S_n\) pour de grandes valeurs de \(n\) ?
4. Quels sont les domaines d'application des sommes harmoniques ?
5. Existe-t-il des généralisations des sommes harmoniques dans d'autres contextes mathématiques ?

**Tip** : Le logarithme naturel est un outil puissant pour estimer le comportement asymptotique des sommes divergentes.

1+1/2+1/3...1/n Déterminer le sens de cette suite

Découvrez les propriétés de la somme harmonique 1 + 1/2 + 1/3 ... 1/n, notamment sa divergence, sa croissance monotone, et son comportement asymptotique approximé par ln(n) + γ (constante d'Euler-Mascheroni). Convient aux étudiants de niveau terminale ou universitaire.

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