determinar su comprobación analíticamente:  
a.	Tipo de función
b.	Dominio y rango
f(x)=(x-2)/(4x-x^2 )

Vamos a analizar la función \( f(x) = \frac{x - 2}{4x - x^2} \) siguiendo los pasos que mencionas.

### a. Tipo de función
La función dada es una **función racional**, ya que está en la forma de una fracción con dos polinomios, uno en el numerador \( (x - 2) \) y otro en el denominador \( (4x - x^2) \). Este tipo de funciones se caracterizan por tener restricciones en su dominio debido a los valores que hacen que el denominador sea igual a cero.

### b. Dominio y rango

#### Dominio:
El dominio de una función racional está definido por los valores de \( x \) para los cuales el denominador no es igual a cero, ya que dividir por cero es indefinido. Vamos a determinar cuándo el denominador \( 4x - x^2 \) es igual a cero:

\[
4x - x^2 = 0
\]

Podemos factorizar esta ecuación:

\[
x(4 - x) = 0
\]

Esto se cumple cuando:

\[
x = 0 \quad \text{o} \quad x = 4
\]

Por lo tanto, los valores \( x = 0 \) y \( x = 4 \) hacen que el denominador sea cero, por lo que deben ser excluidos del dominio. El dominio de la función será:

\[
D_f = \{x \in \mathbb{R} \, | \, x \neq 0 \, \text{y} \, x \neq 4\}
\]

#### Rango:
Para encontrar el rango de la función, examinemos los comportamientos de la función a medida que \( x \) se aleja de estos valores críticos y también en los límites de la función.

1. **Comportamiento asintótico:**
   - Para valores de \( x \to \infty \) y \( x \to -\infty \), observamos el cociente de los términos de mayor grado en el numerador y el denominador.
   
   Si simplificamos la función para valores grandes de \( x \):

   \[
   f(x) \approx \frac{x}{-x^2} = \frac{1}{-x}
   \]

   A medida que \( x \to \infty \), \( f(x) \to 0 \). Así, hay una **asíntota horizontal** en \( y = 0 \).

2. **Valores excluidos del rango:**
   Dado que la función tiene una asíntota horizontal en \( y = 0 \), la función no toma el valor \( f(x) = 0 \). 

De esta manera, el rango de la función es todos los números reales excepto \( y = 0 \):

\[
R_f = \{ y \in \mathbb{R} \, | \, y \neq 0 \}
\]

### Resumen:
- **Tipo de función:** Función racional.
- **Dominio:** \( D_f = \{x \in \mathbb{R} \, | \, x \neq 0 \, \text{y} \, x \neq 4\} \).
- **Rango:** \( R_f = \{ y \in \mathbb{R} \, | \, y \neq 0 \} \).

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de estos puntos? A continuación, te dejo algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se identifican las asíntotas en una función racional?
2. ¿Qué sucede si el numerador de una función racional también tiene raíces?
3. ¿Cómo graficar correctamente una función racional?
4. ¿Cómo se comportan las funciones racionales cerca de sus discontinuidades?
5. ¿Cómo se calcula la intersección con los ejes en una función racional?

**Tip:** En una función racional, los valores excluidos del dominio son cruciales para determinar asíntotas verticales.

determinar su comprobación analíticamente: a. Tipo de función b. Dominio y rango f(x)=(x-2)/(4x-x^2)

Explore how to determine the type, domain, and range of the rational function f(x) = (x - 2) / (4x - x^2). This detailed step-by-step analysis includes factoring the denominator, identifying asymptotes, and determining excluded values for domain and range. Ideal for students in Grades 10-12.

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