Un isótopo radioactivo, se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad que hay presente. Si se reducen de 300 miligramos de este elemento a 247.2 miligramos en una semana. ¿Cuál de las siguientes opciones se aproxima más a la constante de decaimiento del isótopo?
Ayuda
dt
Donde r es el decaimiento y Q la cantidad de isótopo radiactivo.
 
1 dQ Q dt
dQ  r dt.
	In Q	rt + c
 cert
 In (2)
  vida media 
O
 	-0.038
-0.032
O c.	-0.021
  -0.027


Este es un problema de desintegración radiactiva que se modela con una ecuación diferencial. La ecuación de desintegración radiactiva tiene la forma:

\[
\frac{dQ}{dt} = -rQ
\]

Donde:
- \( Q(t) \) es la cantidad de isótopo en el tiempo \( t \).
- \( r \) es la constante de decaimiento (lo que buscamos).
- \( t \) es el tiempo.
  
La solución de esta ecuación diferencial es:

\[
Q(t) = Q_0 e^{-rt}
\]

Donde \( Q_0 \) es la cantidad inicial del isótopo y \( Q(t) \) es la cantidad después de un tiempo \( t \).

Nos dan la siguiente información:
- \( Q_0 = 300 \) miligramos.
- \( Q(1) = 247.2 \) miligramos (después de 1 semana).
- \( t = 1 \) semana.

Podemos usar estos datos para encontrar \( r \).

### Paso 1: Relación entre las cantidades
Sabemos que:

\[
247.2 = 300 e^{-r(1)}
\]

Dividimos ambos lados entre 300 para simplificar:

\[
\frac{247.2}{300} = e^{-r}
\]

\[
0.824 = e^{-r}
\]

### Paso 2: Tomamos logaritmo natural de ambos lados
\[
\ln(0.824) = -r
\]

Calculamos el logaritmo:

\[
r = -\ln(0.824)
\]

### Paso 3: Cálculo de \( r \)
Voy a calcular \( r \).La constante de decaimiento \( r \) es aproximadamente \( 0.194 \) por semana.

Ahora, dado que las opciones de respuesta son negativas, el valor de la constante de decaimiento se expresa como \( -r \), lo que nos da:

\[
-0.194
\]

Este valor no coincide exactamente con ninguna de las opciones proporcionadas, pero entre las opciones dadas, la más cercana es \( -0.21 \).

### ¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta la constante de decaimiento al tiempo de vida media de un isótopo?
2. ¿Cómo se relaciona la constante de desintegración con el tiempo de vida media?
3. ¿Cómo se resolvería el problema si en lugar de una semana fuera un mes?
4. ¿Qué pasa si el valor inicial del isótopo es diferente?
5. ¿Cómo influiría una mayor cantidad de isótopo inicial en el cálculo de \( r \)?

**Tip:** La vida media de un isótopo radiactivo está relacionada directamente con la constante de decaimiento por la fórmula \( T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{r} \).

Un isótopo radioactivo, se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad que hay presente. Si se reducen de 300 miligramos de este elemento a 247.2 miligramos en una semana. ¿Cuál de las siguientes opciones se aproxima más a la constante de decaimiento del isótopo?

Learn how to calculate the decay constant of a radioactive isotope that reduces from 300 mg to 247.2 mg in one week. This problem covers key concepts like exponential decay, differential equations, and the law of radioactive decay, providing a step-by-step solution.

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