Notas
41
61
62
62
68
68
68
72
73
75
76
77
81
82
86
87
89
90
92
94
97


Para analizar las notas proporcionadas, calcularemos algunos estadísticos descriptivos clave: la media, la varianza, y luego determinaremos cuántas observaciones se encuentran dentro de un intervalo específico si fuera necesario. A continuación, detallo los pasos.

### Paso 1: Calcular la Media (\(\mu\))

Sumamos todas las notas y dividimos entre el número total de notas.

\[
\mu = \frac{\sum X}{N}
\]

Donde \(\sum X\) es la suma de todas las notas y \(N\) es el número de notas.

\[
\sum X = 41 + 61 + 62 + 62 + 68 + 68 + 68 + 72 + 73 + 75 + 76 + 77 + 81 + 82 + 86 + 87 + 89 + 90 + 92 + 94 + 97 = 1671
\]

\[
\mu = \frac{1671}{21} \approx 79.57
\]

### Paso 2: Calcular la Varianza (\(\sigma^2\))

Primero calculamos la desviación estándar de cada valor respecto a la media, luego elevamos al cuadrado estas diferencias, las sumamos y dividimos entre el número total de notas menos uno.

\[
\sigma^2 = \frac{\sum (X - \mu)^2}{N-1}
\]

Calculamos cada término \((X - \mu)^2\):

\[
(41 - 79.57)^2 = 1505.8449
\]
\[
(61 - 79.57)^2 = 345.5649
\]
\[
(62 - 79.57)^2 = 311.0849 \quad \text{(dos veces)}
\]
\[
(68 - 79.57)^2 = 133.6849 \quad \text{(tres veces)}
\]
\[
(72 - 79.57)^2 = 57.6849
\]
\[
(73 - 79.57)^2 = 43.4449
\]
\[
(75 - 79.57)^2 = 20.8449
\]
\[
(76 - 79.57)^2 = 12.8449
\]
\[
(77 - 79.57)^2 = 6.3649
\]
\[
(81 - 79.57)^2 = 1.8449
\]
\[
(82 - 79.57)^2 = 5.9376
\]
\[
(86 - 79.57)^2 = 40.4884
\]
\[
(87 - 79.57)^2 = 55.0084
\]
\[
(89 - 79.57)^2 = 88.9884
\]
\[
(90 - 79.57)^2 = 108.6884
\]
\[
(92 - 79.57)^2 = 156.9884
\]
\[
(94 - 79.57)^2 = 208.0484
\]
\[
(97 - 79.57)^2 = 303.4484
\]

Sumamos todas estas diferencias al cuadrado:

\[
\sum (X - \mu)^2 = 1505.8449 + 345.5649 + 311.0849 \times 2 + 133.6849 \times 3 + 57.6849 + 43.4449 + 20.8449 + 12.8449 + 6.3649 + 1.8449 + 5.9376 + 40.4884 + 55.0084 + 88.9884 + 108.6884 + 156.9884 + 208.0484 + 303.4484 = 3374.54
\]

Ahora calculamos la varianza:

\[
\sigma^2 = \frac{3374.54}{21-1} = \frac{3374.54}{20} \approx 168.73
\]

La desviación estándar (\(\sigma\)) será:

\[
\sigma = \sqrt{168.73} \approx 12.99
\]

### Paso 3: Determinar el Intervalo y las Observaciones
Para encontrar el número de observaciones en un intervalo específico como \(59.70 - 73.90\), necesitamos contar las observaciones que caen dentro de ese rango.

Observaciones dadas:
41, 61, 62, 62, 68, 68, 68, 72, 73, 75, 76, 77, 81, 82, 86, 87, 89, 90, 92, 94, 97

Contamos las notas que caen en el intervalo \(59.70 - 73.90\):

- 61, 62, 62, 68, 68, 68, 72, 73

Hay 8 notas dentro del intervalo \(59.70 - 73.90\).

### Conclusión

Aproximadamente 8 observaciones se encuentran en el intervalo \(59.70 - 73.90\).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para expandir la información:

1. ¿Cómo afecta la varianza alta o baja a la interpretación de los datos?
2. ¿Por qué es importante la desviación estándar en el análisis estadístico?
3. ¿Qué otros tipos de medidas de dispersión existen aparte de la varianza y la desviación estándar?
4. ¿Cómo se pueden interpretar los cuartiles en una distribución de datos?
5. ¿Qué es un diagrama de caja y bigotes (box plot) y cómo se interpreta?
6. ¿Cuáles son las diferencias entre una distribución normal y una distribución sesgada?
7. ¿Cómo se pueden identificar los valores atípicos (outliers) en un conjunto de datos?
8. ¿Qué otros tipos de gráficos son útiles para visualizar distribuciones de datos?

**Tip:** Asegúrate de comprender cómo usar una calculadora científica o una hoja de cálculo para calcular rápidamente estadísticas descriptivas como la media y la varianza. Esto puede ahorrarte mucho tiempo y reducir la posibilidad de errores.

Learn how to calculate the mean, variance, and standard deviation of a set of grades using descriptive statistics. This problem involves calculating these statistical measures to analyze a set of grades provided by the user. Suitable for advanced high school students and above.

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