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Para resolver el problema planteado, vamos a establecer un sistema de ecuaciones con base en la relación y los cambios en los pedidos de polos y pantalones.

### Datos iniciales:
- Los pedidos de polos (P) y pantalones (T) están en una relación de **4 a 7**.
  Es decir, \( P = \frac{4}{7}T \).
- Luego, le piden **3 docenas más de polos** (es decir, 36 polos adicionales) y el fabricante nota que ahora están pidiendo la **misma cantidad de polos que de pantalones**.

### Paso 1: Definir las variables
Sea:
- \( P \) la cantidad inicial de polos.
- \( T \) la cantidad inicial de pantalones.

### Paso 2: Escribir la relación inicial
De acuerdo con la relación dada, tenemos:
\[ P = \frac{4}{7}T. \]

### Paso 3: Considerar el aumento en polos
Cuando aumentan 3 docenas (36 polos), la cantidad de polos se vuelve igual a la cantidad de pantalones:
\[ P + 36 = T. \]

### Paso 4: Resolver el sistema de ecuaciones
Ya tenemos dos ecuaciones:
1. \( P = \frac{4}{7}T \),
2. \( P + 36 = T \).

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda:
\[ \frac{4}{7}T + 36 = T. \]

### Paso 5: Resolver la ecuación
Restamos \( \frac{4}{7}T \) de ambos lados:
\[ 36 = T - \frac{4}{7}T, \]
\[ 36 = \frac{7}{7}T - \frac{4}{7}T, \]
\[ 36 = \frac{3}{7}T. \]

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 7:
\[ 36 \times 7 = 3T, \]
\[ 252 = 3T. \]

Dividimos entre 3:
\[ T = \frac{252}{3} = 84. \]

### Paso 6: Encontrar la cantidad de polos
Usamos la ecuación \( P = \frac{4}{7}T \) para encontrar \( P \):
\[ P = \frac{4}{7} \times 84 = 48. \]

### Respuesta:
La cantidad de pantalones fabricados es **84**.

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¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos?

Aquí tienes algunas preguntas adicionales para expandir tu conocimiento:

1. ¿Qué sucede si la relación inicial entre polos y pantalones cambia?
2. ¿Cómo afectaría el resultado si en lugar de docenas de polos adicionales, se pidieran menos?
3. ¿Qué cambios ocurrirían si la relación fuera de 3 a 5 en lugar de 4 a 7?
4. ¿Cómo resolverías el problema si no se tratara de una relación proporcional?
5. ¿Qué sucede si se pidieran diferentes cantidades adicionales de polos y pantalones?

**Tip:** Cuando trabajes con relaciones y cambios, establecer un sistema de ecuaciones es una técnica poderosa para encontrar soluciones exactas.

Un fabricante de ropa tiene pedidos de polos y pantalones, observándose que las cantidades pedidas de polos y pantalones están en la relación de 4 a 7. La semana siguiente le piden tres docenas más de polos, y ahora están pidiendo la misma cantidad de polos que pantalones. Determine la cantidad de pantalones fabricados.

Learn how to solve a problem involving proportional relationships between the number of shirts and pants using algebra and linear equations. The problem focuses on setting up equations from a given ratio (4:7) and solving them step by step. Suitable for students in Grades 9-11.

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