Sei A ∈ Mmn(K) eine Matrix, sodass XA = 0 ∈ Mmn(K) für alle Matrizen X ∈ Mmm(K)
gilt. Beweisen Sie, dass A die Nullmatrix in Mmn(K) ist.

Gegeben ist, dass \( A \in M_{m \times n}(K) \) eine Matrix ist und für alle Matrizen \( X \in M_{m \times m}(K) \) gilt, dass \( X A = 0 \in M_{m \times n}(K) \). Wir sollen beweisen, dass \( A \) die Nullmatrix ist, also \( A = 0 \).

### Beweis:

Wir wissen, dass für jede Matrix \( X \in M_{m \times m}(K) \) gilt:

\[
X A = 0.
\]

Betrachten wir die Matrix \( A = (a_{ij}) \), bei der \( a_{ij} \) die Elemente von \( A \) sind. Das Ziel ist zu zeigen, dass alle Einträge \( a_{ij} = 0 \) sind.

#### Schritt 1: Wahl von speziellen Matrizen \( X \)

Wir wählen nun spezifische Matrizen \( X \), die uns helfen, einzelne Einträge von \( A \) zu isolieren. Insbesondere wählen wir Matrizen \( X \), die nur in einer Zeile von \( X \) nicht null sind und in allen anderen Zeilen Null.

Sei \( e_i \in K^m \) der \( i \)-te Einheitsvektor, also ein Vektor, der an der \( i \)-ten Stelle eine Eins und sonst überall Nullen hat. Definieren wir nun für jedes \( i \) die Matrix \( X_i \) als die Matrix, die die folgenden Einträge hat:

\[
X_i = e_i e_i^T,
\]
wobei \( e_i^T \) der transponierte Vektor von \( e_i \) ist. Diese Matrix \( X_i \) ist also eine Matrix, die überall Nullen hat, außer an der \( i \)-ten Hauptdiagonale, wo der Eintrag \( 1 \) ist. Für \( X_i \) gilt:

\[
(X_i)_{jk} =
\begin{cases}
1, & \text{wenn } j = k = i, \\
0, & \text{sonst}.
\end{cases}
\]

Das bedeutet, dass \( X_i A \) die \( i \)-te Zeile von \( A \) isoliert, und da nach Voraussetzung \( X_i A = 0 \) gilt, folgt, dass die \( i \)-te Zeile von \( A \) Null ist.

#### Schritt 2: Anwendung von \( X_i A = 0 \)

Für jedes \( i \) haben wir:

\[
X_i A = e_i e_i^T A = 0.
\]

Da \( e_i e_i^T A \) nur die \( i \)-te Zeile von \( A \) isoliert, folgt, dass die gesamte \( i \)-te Zeile von \( A \) null ist, das heißt:

\[
A_{ij} = 0 \quad \text{für alle } j.
\]

#### Schritt 3: Schlussfolgerung

Da dies für jedes \( i = 1, 2, \dots, m \) gilt, folgt, dass jede Zeile der Matrix \( A \) Null ist. Somit ist \( A \) die Nullmatrix, also:

\[
A = 0.
\]

Damit ist bewiesen, dass \( A \) die Nullmatrix ist, wenn \( X A = 0 \) für alle Matrizen \( X \in M_{m \times m}(K) \) gilt.

### Fragen:
1. Warum isoliert die Matrix \( X_i \) nur die \( i \)-te Zeile von \( A \)?
2. Kann man den Beweis auch durchführen, wenn \( A \) nicht quadratisch ist?
3. Was passiert, wenn \( X A = 0 \) nur für spezielle \( X \) gilt, nicht für alle \( X \)?
4. Wie hängt dieser Beweis mit der Invertierbarkeit von Matrizen zusammen?
5. Wie ändert sich der Beweis, wenn \( A \in M_{m \times n}(\mathbb{R}) \) oder \( \mathbb{C} \) ist?

### Tipp:
Verwenden von speziellen Matrizen wie Einheitsmatrizen oder Matrizen mit einzelnen Einträgen auf der Diagonale kann oft helfen, Einträge oder Teile einer Matrix zu isolieren und das Problem zu vereinfachen.

Sei A ∈ Mmn(K) eine Matrix, sodass XA = 0 ∈ Mmn(K) für alle Matrizen X ∈ Mmm(K) gilt. Beweisen Sie, dass A die Nullmatrix in Mmn(K) ist.

This problem explores how to prove that a matrix A in Mmn(K) is the zero matrix if XA = 0 for all X in Mmm(K). It involves matrix multiplication, unit vector matrices, and isolating matrix rows. Suitable for university-level students in linear algebra.

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