Una máquina lanza un proyectil a una velocidad inicial de 110 m/s, con ángulo de
35°, Calcular: a) Posición del proyectil a los 6s, b) Velocidad a los 6s, c) Tiempo en
la máxima altura, d) Tiempo total del vuelo, e) Alcance horizonta

Para resolver este problema, vamos a descomponer el movimiento del proyectil en sus componentes horizontal y vertical, utilizando las ecuaciones del movimiento parabólico.

### Datos:
- Velocidad inicial, \( v_0 = 110 \, \text{m/s} \)
- Ángulo de lanzamiento, \( \theta = 35^\circ \)
- Aceleración debida a la gravedad, \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)

### Descomposición de la velocidad inicial:
Primero, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes horizontal y vertical:
- Componente horizontal de la velocidad: \( v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) \)
- Componente vertical de la velocidad: \( v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) \)

\[
v_{0x} = 110 \, \text{m/s} \cdot \cos(35^\circ) \approx 110 \, \text{m/s} \cdot 0.819 \approx 90.09 \, \text{m/s}
\]

\[
v_{0y} = 110 \, \text{m/s} \cdot \sin(35^\circ) \approx 110 \, \text{m/s} \cdot 0.574 \approx 63.14 \, \text{m/s}
\]

### a) Posición del proyectil a los 6 segundos
La posición del proyectil en cualquier instante \( t \) está dada por las ecuaciones:
- Posición horizontal: \( x(t) = v_{0x} \cdot t \)
- Posición vertical: \( y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^2 \)

Para \( t = 6 \, \text{s} \):
\[
x(6) = 90.09 \, \text{m/s} \cdot 6 \, \text{s} \approx 540.54 \, \text{m}
\]

\[
y(6) = 63.14 \, \text{m/s} \cdot 6 \, \text{s} - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot (6 \, \text{s})^2
\]

\[
y(6) = 378.84 \, \text{m} - 176.4 \, \text{m} \approx 202.44 \, \text{m}
\]

**Posición del proyectil a los 6 segundos**: \((540.54 \, \text{m}, 202.44 \, \text{m})\).

### b) Velocidad a los 6 segundos
La velocidad del proyectil en cualquier instante \( t \) está dada por:
- Componente horizontal de la velocidad: \( v_x(t) = v_{0x} \)
- Componente vertical de la velocidad: \( v_y(t) = v_{0y} - g \cdot t \)

Para \( t = 6 \, \text{s} \):
\[
v_x(6) = 90.09 \, \text{m/s}
\]

\[
v_y(6) = 63.14 \, \text{m/s} - 9.8 \, \text{m/s}^2 \cdot 6 \, \text{s} = 63.14 \, \text{m/s} - 58.8 \, \text{m/s} \approx 4.34 \, \text{m/s}
\]

La magnitud de la velocidad a los 6 segundos es:
\[
v(6) = \sqrt{v_x(6)^2 + v_y(6)^2}
\]

\[
v(6) = \sqrt{(90.09 \, \text{m/s})^2 + (4.34 \, \text{m/s})^2} \approx \sqrt{8116.2 + 18.83} \approx \sqrt{8135.03} \approx 90.2 \, \text{m/s}
\]

**Velocidad del proyectil a los 6 segundos**: \( 90.2 \, \text{m/s} \).

### c) Tiempo en la máxima altura
El tiempo en el que el proyectil alcanza la altura máxima se calcula usando la componente vertical de la velocidad:
\[
v_y(t) = 0 \quad \text{en la máxima altura}
\]
\[
0 = v_{0y} - g \cdot t_{\text{máx}}
\]
\[
t_{\text{máx}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{63.14 \, \text{m/s}}{9.8 \, \text{m/s}^2} \approx 6.44 \, \text{s}
\]

**Tiempo en la máxima altura**: \( 6.44 \, \text{s} \).

### d) Tiempo total del vuelo
El tiempo total de vuelo es el doble del tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima (ya que la trayectoria es simétrica):
\[
t_{\text{total}} = 2 \cdot t_{\text{máx}} \approx 2 \cdot 6.44 \, \text{s} \approx 12.88 \, \text{s}
\]

**Tiempo total de vuelo**: \( 12.88 \, \text{s} \).

### e) Alcance horizontal
El alcance horizontal se calcula como la distancia horizontal recorrida en el tiempo total de vuelo:
\[
R = v_{0x} \cdot t_{\text{total}} \approx 90.09 \, \text{m/s} \cdot 12.88 \, \text{s} \approx 1160.36 \, \text{m}
\]

**Alcance horizontal**: \( 1160.36 \, \text{m} \).

---

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambiarían los resultados si el ángulo de lanzamiento fuera de 45°?
2. ¿Cuál sería la altura máxima alcanzada por el proyectil?
3. ¿Cómo se modificaría el tiempo total de vuelo si la velocidad inicial fuera 150 m/s?
4. ¿Qué influencia tendría la resistencia del aire en el alcance horizontal?
5. ¿Cómo se calcularía la energía cinética del proyectil en la máxima altura?
6. ¿Cuál sería el tiempo en el que el proyectil alcanza un tercio de su altura máxima?
7. ¿Qué pasaría si el proyectil se lanzara desde una altura inicial diferente de cero?
8. ¿Cómo se vería la trayectoria del proyectil en un gráfico de \(x\) vs \(y\)?

**Tip**: La simetría de la trayectoria parabólica simplifica el cálculo del tiempo total de vuelo y del alcance horizontal.

Explore a detailed solution to a projectile motion problem involving a projectile launched at 110 m/s at an angle of 35°. Calculate position, velocity, time to maximum height, total flight time, and horizontal range. Suitable for high school students studying physics.

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