la posicion de un punto durante el intervalo de tiempo de t=0 a t=6s s=-1/2t^36t^2+4t m

Dado que se nos proporciona la ecuación de la posición de un punto en función del tiempo \( s(t) = -\frac{1}{2}t^3 + 6t^2 + 4t \) (en metros), podemos analizar el comportamiento del punto en el intervalo de tiempo \( t = 0 \) a \( t = 6 \) segundos.

### 1. **Posición Inicial y Final:**

- **Posición en \( t = 0 \) segundos:**
  \[
  s(0) = -\frac{1}{2}(0)^3 + 6(0)^2 + 4(0) = 0 \, \text{m}
  \]

- **Posición en \( t = 6 \) segundos:**
  \[
  s(6) = -\frac{1}{2}(6)^3 + 6(6)^2 + 4(6)
  \]
  Evaluemos el valor:
  \[
  s(6) = -\frac{1}{2}(216) + 6(36) + 24 = -108 + 216 + 24 = 132 \, \text{m}
  \]

### 2. **Velocidad:**
La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo \( v(t) = \frac{ds}{dt} \).

\[
v(t) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{1}{2}t^3 + 6t^2 + 4t\right) = -\frac{3}{2}t^2 + 12t + 4
\]

Podemos calcular la velocidad en varios puntos importantes:

- **Velocidad en \( t = 0 \):**
  \[
  v(0) = -\frac{3}{2}(0)^2 + 12(0) + 4 = 4 \, \text{m/s}
  \]

- **Velocidad en \( t = 6 \):**
  \[
  v(6) = -\frac{3}{2}(6)^2 + 12(6) + 4 = -\frac{3}{2}(36) + 72 + 4 = -54 + 76 = 22 \, \text{m/s}
  \]

### 3. **Aceleración:**
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo \( a(t) = \frac{dv}{dt} \).

\[
a(t) = \frac{d}{dt}\left(-\frac{3}{2}t^2 + 12t + 4\right) = -3t + 12
\]

- **Aceleración en \( t = 0 \):**
  \[
  a(0) = -3(0) + 12 = 12 \, \text{m/s}^2
  \]

- **Aceleración en \( t = 6 \):**
  \[
  a(6) = -3(6) + 12 = -18 + 12 = -6 \, \text{m/s}^2
  \]

### 4. **Conclusión:**
El punto comienza en la posición \( s = 0 \) en \( t = 0 \) y se mueve hasta la posición \( s = 132 \) en \( t = 6 \) segundos. La velocidad del punto aumenta de 4 m/s a 22 m/s, mientras que la aceleración es positiva al inicio y se vuelve negativa al final.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué sucede con la velocidad en otros puntos intermedios, como \( t = 3 \) segundos?
2. ¿Cuál es la velocidad máxima alcanzada en el intervalo \( t = 0 \) a \( t = 6 \) segundos?
3. ¿En qué instante la aceleración se vuelve cero?
4. ¿Podemos determinar si el punto cambia de dirección durante el intervalo?
5. ¿Qué ocurre con la energía cinética del punto a lo largo del tiempo?

### Tip:
Siempre que calcules la posición, velocidad y aceleración, revisa si las funciones tienen algún punto crítico (máximos, mínimos) que pueda indicar un cambio en la dirección del movimiento o una variación significativa en la aceleración.

Explore the position, velocity, and acceleration of a point over the time interval t=0 to t=6 seconds. Includes detailed calculations and analysis using kinematic equations and calculus. Suitable for high school students studying physics or calculus.

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