"Realizar la siguiente operación con polinomios" (12x ^ 4 + 9x ^ 3 - 23x ^ 2 + 36x + 12)/(x ^ 2 - 4)

Para resolver la operación de dividir el polinomio \(12x^4 + 9x^3 - 23x^2 + 36x + 12\) entre \(x^2 - 4\), seguimos el proceso de **división de polinomios**.

### Paso 1: Escribimos el problema
\[
\frac{12x^4 + 9x^3 - 23x^2 + 36x + 12}{x^2 - 4}
\]
Observamos que el divisor \(x^2 - 4\) se puede factorizar:
\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
\]
Sin embargo, en este caso continuamos con la división directamente.

### Paso 2: División de polinomios
Realizamos la división término a término:

1. Tomamos el primer término del dividendo \(12x^4\) y lo dividimos por el primer término del divisor \(x^2\):
\[
\frac{12x^4}{x^2} = 12x^2
\]
Multiplicamos \(12x^2\) por \(x^2 - 4\):
\[
12x^2(x^2 - 4) = 12x^4 - 48x^2
\]
Restamos esto del dividendo:
\[
(12x^4 + 9x^3 - 23x^2) - (12x^4 - 48x^2) = 9x^3 + 25x^2
\]

2. Repetimos el proceso con el nuevo dividendo \(9x^3 + 25x^2 + 36x + 12\). Dividimos \(9x^3\) por \(x^2\):
\[
\frac{9x^3}{x^2} = 9x
\]
Multiplicamos \(9x\) por \(x^2 - 4\):
\[
9x(x^2 - 4) = 9x^3 - 36x
\]
Restamos esto del dividendo:
\[
(9x^3 + 25x^2 + 36x) - (9x^3 - 36x) = 25x^2 + 72x
\]

3. Dividimos \(25x^2\) por \(x^2\):
\[
\frac{25x^2}{x^2} = 25
\]
Multiplicamos \(25\) por \(x^2 - 4\):
\[
25(x^2 - 4) = 25x^2 - 100
\]
Restamos esto del dividendo:
\[
(25x^2 + 72x + 12) - (25x^2 - 100) = 72x + 112
\]

### Resultado final:
El cociente es \(12x^2 + 9x + 25\) y el residuo es \(72x + 112\).

\[
\frac{12x^4 + 9x^3 - 23x^2 + 36x + 12}{x^2 - 4} = 12x^2 + 9x + 25 + \frac{72x + 112}{x^2 - 4}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes preguntas adicionales?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se realiza la factorización de polinomios?
2. ¿Qué otros métodos existen para dividir polinomios?
3. ¿Cómo interpretar el residuo en una división de polinomios?
4. ¿Cuál es la relación entre división de polinomios y fracciones algebraicas?
5. ¿Cómo puedo verificar si la división de polinomios es correcta?

### Tip: Para verificar una división de polinomios, multiplica el cociente por el divisor y suma el residuo; el resultado debe ser el dividendo original.

Realizar la siguiente operación con polinomios: (12x^4 + 9x^3 - 23x^2 + 36x + 12)/(x^2 - 4)

Learn how to solve the polynomial division of (12x^4 + 9x^3 - 23x^2 + 36x + 12) by (x^2 - 4) through a step-by-step solution. This example involves polynomial long division and factorization concepts. Suitable for students in Grades 10-12.

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