Q3: Sabendo que o ponto (−1, 7, 5, k) pertence ao plano
−3, −2, 2, 2

+ span 
−2, 3, 1, 2

,
2, 3, 1, −3
 ,

assinale o valor de k:
(A) −8
(B) −7
(C) −6
(D) −5
(E) −4
(F) −3
(G) −2
(H) −1
(I) Não sei

Dado que o ponto \( (-1, 7, 5, k) \) pertence ao plano gerado pelo vetor \( (-3, -2, 2, 2) \) e pelo span dos vetores \( (-2, 3, 1, 2) \) e \( (2, 3, 1, -3) \), devemos verificar como o ponto se relaciona com a combinação linear dos vetores, e encontrar o valor de \( k \).

Primeiro, representamos o ponto \( (-1, 7, 5, k) \) como a soma de um vetor base e uma combinação linear dos vetores que geram o plano. Ou seja:

\[
(-1, 7, 5, k) = (-3, -2, 2, 2) + \alpha (-2, 3, 1, 2) + \beta (2, 3, 1, -3)
\]

Expandindo essa equação, temos que:

\[
(-1, 7, 5, k) = (-3 - 2\alpha + 2\beta, -2 + 3\alpha + 3\beta, 2 + \alpha + \beta, 2 + 2\alpha - 3\beta)
\]

Agora, igualamos cada coordenada ao ponto \( (-1, 7, 5, k) \), resultando no seguinte sistema de equações:

1. \( -3 - 2\alpha + 2\beta = -1 \)
2. \( -2 + 3\alpha + 3\beta = 7 \)
3. \( 2 + \alpha + \beta = 5 \)
4. \( 2 + 2\alpha - 3\beta = k \)

### Resolvendo o sistema:

#### Primeira equação:
\[
-3 - 2\alpha + 2\beta = -1 \implies -2\alpha + 2\beta = 2 \implies \alpha - \beta = -1 \quad \text{(equação 1)}
\]

#### Segunda equação:
\[
-2 + 3\alpha + 3\beta = 7 \implies 3\alpha + 3\beta = 9 \implies \alpha + \beta = 3 \quad \text{(equação 2)}
\]

Agora temos o sistema:
1. \( \alpha - \beta = -1 \)
2. \( \alpha + \beta = 3 \)

Somando as duas equações:
\[
2\alpha = 2 \implies \alpha = 1
\]

Substituindo \( \alpha = 1 \) na equação \( \alpha + \beta = 3 \):
\[
1 + \beta = 3 \implies \beta = 2
\]

#### Terceira equação:
Sabemos que \( \alpha = 1 \) e \( \beta = 2 \), então substituímos na quarta equação para encontrar \( k \):

\[
k = 2 + 2(1) - 3(2) = 2 + 2 - 6 = -2
\]

Portanto, o valor de \( k \) é \( -2 \).

A alternativa correta é a **(G) −2**.

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Aqui estão algumas perguntas relacionadas para expandir o conteúdo:

1. O que significa um ponto pertencer a um plano no espaço?
2. Como podemos interpretar uma combinação linear de vetores no contexto de um plano?
3. Como resolver sistemas de equações lineares?
4. Qual a relação entre vetores lineares independentes e o plano?
5. Quais são as condições para que três vetores formem uma base de um espaço tridimensional?

**Dica**: Sempre que encontrar um sistema linear com várias equações, tente usar métodos como substituição ou soma para simplificar.

Sabendo que o ponto (−1, 7, 5, k) pertence ao plano gerado pelos vetores (−3, −2, 2, 2), (−2, 3, 1, 2) e (2, 3, 1, −3), assinale o valor de k.

Solve for the value of k such that the point (−1, 7, 5, k) lies on the plane generated by the vectors (−3, −2, 2, 2), (−2, 3, 1, 2), and (2, 3, 1, −3). This problem explores concepts in 4D vector spaces and linear combinations.

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