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Para resolver este ejercicio usando matrices, necesitamos encontrar los valores de \( k \) tal que el vector \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \) esté en el espacio generado por los vectores \( \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ k \end{pmatrix} \), \( \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \), y \( \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 4 \end{pmatrix} \).

Esto significa que el vector \( \vec{u} \) debe ser una combinación lineal de los vectores \( \vec{v_1}, \vec{v_2} \) y \( \vec{v_3} \). En términos algebraicos, podemos escribir:

\[
\vec{u} = a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3}
\]

Esto se traduce en el siguiente sistema de ecuaciones matricial:

\[
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ k \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 4 \end{pmatrix}
\]

Que se puede escribir como un sistema de ecuaciones lineales:

\[
a(1) + b(1) + c(2) = 2
\]
\[
a(1) + b(2) + c(k) = 1
\]
\[
a(k) + b(-5) + c(4) = -5
\]

Vamos a resolver este sistema para encontrar \( k \). A continuación realizaré los cálculos.La solución del sistema de ecuaciones nos da la siguiente relación para \( k \):

- \( k \) debe satisfacer las condiciones:
  
  \[
  k \neq 2 \quad \text{y} \quad k \neq -3
  \]
  
  ya que los denominadores dependen de \( k - 2 \) y \( k + 3 \), lo cual indicaría que si \( k = 2 \) o \( k = -3 \), las soluciones no serían válidas debido a una indeterminación.

Los valores de los coeficientes \( a \), \( b \), y \( c \) dependen directamente de \( k \), pero la solución para \( k \) no puede ser ni 2 ni -3.

¿Te gustaría más detalles sobre cómo se desarrollan las soluciones para los coeficientes \( a \), \( b \), y \( c \), o tienes otra pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el valor de \( k \) a la combinación lineal de los vectores?
2. ¿Qué interpretación geométrica tiene la combinación lineal de vectores en este contexto?
3. ¿Cómo podemos verificar si un vector está en el espacio generado por otros vectores?
4. ¿Qué pasa si \( k = 2 \) o \( k = -3 \)? ¿Qué indica la indeterminación?
5. ¿Cómo se relaciona este tipo de problema con la teoría de independencia lineal?

**Tip:** En problemas de combinación lineal, un sistema inconsistente suele indicar que no todos los vectores son linealmente independientes.

Determine los valores de k, si existen, de modo que el vector \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \) esté en el espacio generado por los vectores \( \vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ k \end{pmatrix} \), \( \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \), y \( \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 2 \\ k \\ 4 \end{pmatrix} \).

Solve a linear algebra problem to determine the values of k such that a given vector is in the space spanned by three other vectors. Learn key concepts like linear combinations, systems of equations, and vector space theory.

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