como son la derivadas parciales de f con respecto a x y de f con respecto a y, siendo f(x,y)=ln(x^2+(2y)^0.5)

Dada la función \( f(x, y) = \ln(x^2 + \sqrt{2y}) \), vamos a calcular las derivadas parciales de \( f \) con respecto a \( x \) y con respecto a \( y \).

### 1. Derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \)
La derivada parcial de \( f(x, y) \) con respecto a \( x \), denotada como \( \frac{\partial f}{\partial x} \), sigue las reglas de la derivación de funciones logarítmicas y la regla de la cadena. Primero derivamos el argumento del logaritmo con respecto a \( x \).

\[
\frac{\partial}{\partial x} \left( f(x, y) = \ln(x^2 + \sqrt{2y}) \right)
\]

La derivada del logaritmo es:

\[
\frac{1}{x^2 + \sqrt{2y}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + \sqrt{2y})
\]

Ahora derivamos \( x^2 + \sqrt{2y} \) con respecto a \( x \):

\[
\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + \sqrt{2y}) = 2x
\]

Por lo tanto, la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \) es:

\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + \sqrt{2y}}
\]

### 2. Derivada parcial de \( f \) con respecto a \( y \)
Ahora calculamos la derivada parcial de \( f(x, y) \) con respecto a \( y \), denotada como \( \frac{\partial f}{\partial y} \).

\[
\frac{\partial}{\partial y} \left( f(x, y) = \ln(x^2 + \sqrt{2y}) \right)
\]

Nuevamente, la derivada del logaritmo es:

\[
\frac{1}{x^2 + \sqrt{2y}} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + \sqrt{2y})
\]

Ahora derivamos \( x^2 + \sqrt{2y} \) con respecto a \( y \):

\[
\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + \sqrt{2y}) = \frac{1}{2\sqrt{2y}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2y}}
\]

Por lo tanto, la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( y \) es:

\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{(x^2 + \sqrt{2y}) \cdot \sqrt{2y}}
\]

### Resumen de las derivadas parciales:

- Derivada parcial con respecto a \( x \):
  \[
  \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + \sqrt{2y}}
  \]

- Derivada parcial con respecto a \( y \):
  \[
  \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{(x^2 + \sqrt{2y}) \cdot \sqrt{2y}}
  \]

¿Te gustaría más detalles sobre estas derivadas o tienes alguna pregunta adicional?

---

**Preguntas relacionadas**:

1. ¿Cómo se calculan las derivadas parciales de una función de más de dos variables?
2. ¿Cuál es el significado geométrico de las derivadas parciales?
3. ¿Cómo se interpretan las derivadas parciales en aplicaciones físicas?
4. ¿Qué sucede si la función involucra un logaritmo natural con un argumento más complejo?
5. ¿Cómo afectan las reglas de la cadena a las derivadas parciales en funciones compuestas?

**Tip**: Cuando trabajes con logaritmos en derivadas, recuerda aplicar siempre la regla de la cadena y revisar si el argumento del logaritmo tiene términos dependientes de la variable.

This page explains how to compute the partial derivatives of the function f(x, y) = ln(x^2 + √(2y)) with respect to x and y. Learn about the chain rule, logarithmic derivatives, and multivariable calculus. This content is ideal for undergraduate students.

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