Las ecuaciones

            x= \frac{\cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta}

            y= \frac{\sin \theta}{\sin \theta - \cos \theta},
con -\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq 0, parametrizan  el segmento de recta que une a los puntos  (0,-1)  y  (-1/2,1/2) .

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Para determinar si las ecuaciones parametrizan el segmento de recta que une a los puntos \((0, -1)\) y \((-1/2, 1/2)\), debemos comprobar si los valores de \(x\) e \(y\) para \(\theta\) en el intervalo dado satisfacen la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos.

### Paso 1: Encontrar la ecuación de la recta
Dado que la recta pasa por \((0, -1)\) y \((-1/2, 1/2)\), podemos encontrar su pendiente \(m\) usando la fórmula:

\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{1}{2} - (-1)}{-\frac{1}{2} - 0} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = -3
\]

Entonces, la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente es:

\[
y + 1 = -3(x - 0) \implies y = -3x - 1
\]

### Paso 2: Sustituir las expresiones paramétricas
Ahora sustituimos las expresiones paramétricas de \(x\) e \(y\) en la ecuación de la recta \(y = -3x - 1\):

\[
\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = -3\left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta}\right) - 1
\]

Multiplicando ambos lados por \(\sin \theta - \cos \theta\) para simplificar:

\[
\sin \theta = -3\cos \theta - (\sin \theta - \cos \theta)
\]

\[
\sin \theta = -3\cos \theta - \sin \theta + \cos \theta
\]

\[
2\sin \theta = -2\cos \theta
\]

\[
\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -1
\]

Esto implica que:

\[
\tan \theta = -1
\]

### Paso 3: Verificar el intervalo
Sabemos que \(\tan \theta = -1\) cuando \(\theta = -\frac{\pi}{4}\). En este caso, \(\theta = -\frac{\pi}{4}\) pertenece al intervalo dado \( -\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq 0\).

### Paso 4: Verificación de los puntos extremos
- Para \(\theta = -\frac{\pi}{4}\):

\[
x = \frac{\cos(-\frac{\pi}{4})}{\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(-\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}
\]
\[
y = \frac{\sin(-\frac{\pi}{4})}{\sin(-\frac{\pi}{4}) - \cos(-\frac{\pi}{4})} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\sqrt{2}} = \frac{1}{2}
\]

El punto es \((-1/2, 1/2)\).

- Para \(\theta = 0\):

\[
x = \frac{\cos(0)}{\sin(0) - \cos(0)} = \frac{1}{0 - 1} = -1
\]
\[
y = \frac{\sin(0)}{\sin(0) - \cos(0)} = \frac{0}{0 - 1} = 0
\]

El punto es \((0, -1)\).

Dado que ambos puntos se corresponden con los extremos del segmento de recta, las ecuaciones dadas **sí** parametrizan el segmento de recta entre \((0, -1)\) y \((-1/2, 1/2)\).

### Respuesta: Verdadero

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**Tip:** Cuando parametrices una línea recta, revisa los valores extremos para asegurarte de que cubren todo el segmento deseado.

Explore how parametric equations x = cos(theta) / (sin(theta) - cos(theta)) and y = sin(theta) / (sin(theta) - cos(theta)) connect the points (0, -1) and (-1/2, 1/2). Detailed solution showing the derivation and verification steps included.

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