Determine el valor de k para el número complejo 2-(1+k)I/1-ki sea un numero real

Para que el número complejo sea real, su parte imaginaria debe ser igual a 0. Vamos a partir del número complejo dado y despejar \( k \) para cumplir esa condición.

El número complejo es:

\[
\frac{2 - (1+k)i}{1 - ki}
\]

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para eliminar la parte imaginaria del denominador. El conjugado de \( 1 - ki \) es \( 1 + ki \). Entonces, hacemos la multiplicación:

\[
\frac{(2 - (1+k)i)(1 + ki)}{(1 - ki)(1 + ki)}
\]

El denominador es una diferencia de cuadrados:

\[
(1 - ki)(1 + ki) = 1^2 - (ki)^2 = 1 - k^2i^2 = 1 + k^2
\]

Ahora multiplicamos los numeradores:

\[
(2 - (1+k)i)(1 + ki)
\]

Multiplicamos usando la propiedad distributiva:

\[
= 2(1 + ki) - (1+k)i(1 + ki)
\]

Primero multiplicamos \( 2(1 + ki) \):

\[
2(1 + ki) = 2 + 2ki
\]

Luego multiplicamos \( -(1+k)i(1 + ki) \):

\[
-(1+k)i(1 + ki) = -(1+k)i - (1+k)k i^2
\]

Como \( i^2 = -1 \), tenemos:

\[
-(1+k)i - (1+k)k(-1) = -(1+k)i + (1+k)k
\]

Sumamos todo:

\[
(2 + 2ki) + (1+k)k - (1+k)i
\]

Ahora, separando la parte real y la parte imaginaria:

- Parte real: \( 2 + (1+k)k \)
- Parte imaginaria: \( 2k - (1+k) \)

Para que el número complejo sea real, la parte imaginaria debe ser 0:

\[
2k - (1 + k) = 0
\]

Simplificamos:

\[
2k - 1 - k = 0
\]

\[
k = 1
\]

Por lo tanto, el valor de \( k \) para que el número complejo sea real es \( k = 1 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el conjugado de un número complejo?
2. ¿Qué es una diferencia de cuadrados y cómo se aplica en números complejos?
3. ¿Por qué el producto de \( i^2 \) es igual a -1?
4. ¿Qué implicaría que el número complejo tuviera una parte imaginaria distinta de cero?
5. ¿Cómo se podría interpretar geométricamente un número complejo real?

### Tip:
Para hacer cálculos con números complejos, multiplicar por el conjugado es una técnica fundamental para eliminar la parte imaginaria del denominador.

Determine el valor de k para el número complejo 2-(1+k)i/1-ki sea un número real

Learn how to determine the value of k for the complex number 2-(1+k)i/1-ki to be a real number. This step-by-step guide explains key concepts like complex conjugates, algebraic manipulation, and the imaginary unit. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation