El máximo común divisor (mcd) entre \( a + b \) y \( a - b \) tiene una propiedad interesante. 

Dado que el mcd entre dos números no cambia si sumamos o restamos estos números, podemos analizarlo de la siguiente manera:

Sea \( d = \text{mcd}(a+b, a-b) \).

Sabemos que \( d \) divide tanto \( a + b \) como \( a - b \). Ahora, sumemos y restemos \( a + b \) y \( a - b \):

1. \( (a+b) + (a-b) = 2a \)
2. \( (a+b) - (a-b) = 2b \)

Esto significa que \( d \) también debe dividir \( 2a \) y \( 2b \). Por lo tanto, \( d \) divide al mcd de \( 2a \) y \( 2b \).

Notemos que \( d \) divide \( 2a \) y \( 2b \), pero también podría dividir los números \( a \) y \( b \) directamente. 

Entonces, el mcd entre \( a+b \) y \( a-b \) depende de si \( a \) y \( b \) son pares o impares:

- Si \( a \) y \( b \) son ambos impares, entonces \( \text{mcd}(a+b, a-b) = 2 \).
- Si \( a \) y \( b \) son ambos pares, entonces \( \text{mcd}(a+b, a-b) = 2 \times \text{mcd}(a, b) \).
- Si uno es par y el otro impar, entonces \( \text{mcd}(a+b, a-b) = \text{mcd}(a, b) \).

**Conclusión general:** 
\[
\text{mcd}(a+b, a-b) = 2 \times \text{mcd}(a, b) \quad \text{si } a \text{ y } b \text{ son pares.}
\]
\[
\text{mcd}(a+b, a-b) = \text{mcd}(a, b) \quad \text{si } a \text{ y } b \text{ tienen diferente paridad.}
\]

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Qué sucede si \( a \) y \( b \) son primos entre sí?
2. ¿Cómo se simplifica el mcd si \( a \) es múltiplo de \( b \)?
3. ¿Cómo calcular el mcd de dos números grandes rápidamente?
4. ¿Cuál es la relación entre mcd y mcm (mínimo común múltiplo)?
5. Si \( a + b \) es múltiplo de 3, ¿cómo afecta esto al mcd?

**Tip:** Usar la propiedad de mcd al sumar y restar es muy útil para simplificar problemas que involucran múltiplos y divisores comunes.

Explore the mathematical concept of the greatest common divisor (mcd) between a + b and a - b. Understand how the properties of GCD apply to these expressions and their relation to the parity of numbers. Suitable for advanced high school students and beyond.

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