Una tienda ha estado vendiendo 200 reproductores de discos Blu-ray, por semana a $350 cada uno. Un estudio de mercado indica que por cada $10 de descuento ofrecido a los compradores, el número de unidades vendidas se incrementara en 20 a la semana. Encuentra la función demanda y la función ingreso. ¿Qué tan grande debe ser el descuento que ofrezca la tienda para maximizar sus ingresos?
a)	Plantea la función de demanda P(x)
b)	Grafica la función de demanda en GeoGebra P(x)
c)	Plantea la función de ingreso R(x)
d)	Grafica la función de ingreso en GeoGebra R(x)
e)	Deriva la función de ingreso 
f)	Utiliza el criterio de la primera y la segunda derivada para determinar el máximo ingreso, a partir del máximo descuento que ofrezca la tiend


Vamos a resolver este problema paso a paso:

### a) Plantea la función de demanda $P(x)$
- **Datos:**
  - Precio inicial $P(0) = 350$ dólares.
  - Cantidad inicial vendida $x(0) = 200$ unidades por semana.
  - Por cada descuento de $10, se venden 20 unidades más.

Sea $x$ el número de descuentos de $10 ofrecidos.
- El número de reproductores vendidos es $200 + 20x$.
- El precio por reproductor es $350 - 10x$.

Por lo tanto, la **función de demanda** que relaciona el precio con el número de descuentos $x$ es:

\[
P(x) = 350 - 10x
\]

Donde $P(x)$ es el precio por cada reproductor y $x$ es el número de descuentos de $10 ofrecidos.

### b) Grafica la función de demanda $P(x)$ en GeoGebra
Para graficar la función de demanda, puedes ingresar la ecuación $P(x) = 350 - 10x$ en GeoGebra. Esto generará una línea recta con pendiente negativa, comenzando en 350 en el eje de precios $P(x)$ y descendiendo a medida que el valor de $x$ aumenta.

### c) Plantea la función de ingreso $R(x)$
El ingreso total es el precio por unidad multiplicado por la cantidad vendida. Sabemos que el precio es $P(x) = 350 - 10x$ y la cantidad vendida es $q(x) = 200 + 20x$. Entonces, la **función de ingreso** es:

\[
R(x) = P(x) \cdot q(x)
\]
\[
R(x) = (350 - 10x)(200 + 20x)
\]
Expandiendo la ecuación:

\[
R(x) = 350(200 + 20x) - 10x(200 + 20x)
\]
\[
R(x) = 70000 + 7000x - 2000x - 200x^2
\]
\[
R(x) = 70000 + 5000x - 200x^2
\]

Por lo tanto, la **función de ingreso** es:

\[
R(x) = -200x^2 + 5000x + 70000
\]

### d) Grafica la función de ingreso $R(x)$ en GeoGebra
Para graficar la función de ingreso, puedes ingresar la ecuación $R(x) = -200x^2 + 5000x + 70000$ en GeoGebra. Esto generará una parábola que abre hacia abajo, ya que el coeficiente de $x^2$ es negativo, indicando que tiene un máximo.

### e) Deriva la función de ingreso
La derivada de la función de ingreso nos ayudará a encontrar los puntos críticos donde el ingreso es máximo o mínimo.

\[
R'(x) = \frac{d}{dx} (-200x^2 + 5000x + 70000)
\]
Aplicamos las reglas de derivación:

\[
R'(x) = -400x + 5000
\]

### f) Criterio de la primera y la segunda derivada para el máximo ingreso
- **Primera derivada**: Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos.

\[
-400x + 5000 = 0
\]
\[
x = \frac{5000}{400} = 12.5
\]

El valor $x = 12.5$ indica que para maximizar el ingreso, el número de descuentos de $10 que se debe ofrecer es 12.5, es decir, un descuento de $125.

- **Segunda derivada**: Derivamos de nuevo para confirmar si es un máximo.

\[
R''(x) = \frac{d}{dx} (-400x + 5000) = -400
\]

Como la segunda derivada es negativa ($-400$), esto confirma que $x = 12.5$ es un **máximo**.

### Resumen:
1. La función de demanda es $P(x) = 350 - 10x$.
2. La función de ingreso es $R(x) = -200x^2 + 5000x + 70000$.
3. El ingreso máximo ocurre cuando el descuento es de $125 (es decir, $x = 12.5$).

### ¿Te gustaría que amplíe algún detalle o que realice los gráficos en GeoGebra?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué pasaría con el ingreso si el descuento fuera mayor a $125?
2. ¿Cómo cambia el número de reproductores vendidos al aplicar diferentes descuentos?
3. ¿Qué sucedería con el ingreso si no se ofreciera ningún descuento?
4. ¿Cómo afecta la pendiente de la función de demanda a la estrategia de precios?
5. ¿Qué interpretación económica tiene el valor de la segunda derivada negativa?

**Tip**: Siempre verifica los puntos críticos de una función utilizando la primera y segunda derivada para asegurarte de que estás encontrando máximos o mínimos correctamente.

Una tienda ha estado vendiendo 200 reproductores de discos Blu-ray, por semana a $350 cada uno. Un estudio de mercado indica que por cada $10 de descuento ofrecido a los compradores, el número de unidades vendidas se incrementara en 20 a la semana. Encuentra la función demanda y la función ingreso. ¿Qué tan grande debe ser el descuento que ofrezca la tienda para maximizar sus ingresos? a) Plantea la función de demanda P(x) b) Grafica la función de demanda en GeoGebra P(x) c) Plantea la función de ingreso R(x) d) Grafica la función de ingreso en GeoGebra R(x) e) Deriva la función de ingreso f) Utiliza el criterio de la primera y la segunda derivada para determinar el máximo ingreso, a partir del máximo descuento que ofrezca la tienda.

Learn how to find the demand and revenue functions for a store selling Blu-ray players, and how to determine the optimal discount to maximize revenue. This step-by-step solution involves linear and quadratic functions, derivatives, and maximization techniques, ideal for students in Grades 10-12.

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