- Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales. 
2∙ 𝑋−5∙𝑌 =[ 1 −1
 2 1 ] 
−𝑋+2∙𝑌 =[ 2 1
 4 1 ]

Dado el sistema de ecuaciones matriciales:

\[
2X - 5Y = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}
\]
\[
-X + 2Y = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}
\]

Vamos a resolver este sistema paso a paso.

### Paso 1: Expresamos las ecuaciones en términos de \( X \) y \( Y \)
Reescribimos la primera ecuación para despejar \( 2X \):

\[
2X = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} + 5Y
\]

La segunda ecuación la reescribimos para despejar \( X \):

\[
X = 2Y - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}
\]

### Paso 2: Sustituimos \( X \) de la segunda ecuación en la primera
Sustituyendo \( X \) en la primera ecuación:

\[
2 \left( 2Y - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \right) - 5Y = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}
\]

Expandimos ambos términos:

\[
2 \cdot 2Y - 2 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} - 5Y = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}
\]
\[
4Y - \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 2 \end{bmatrix} - 5Y = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}
\]

### Paso 3: Simplificamos la ecuación
Agrupamos los términos de \( Y \):

\[
(4Y - 5Y) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}
\]
\[
-Y = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 10 & 3 \end{bmatrix}
\]

### Paso 4: Despejamos \( Y \)
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \(-1\):

\[
Y = \begin{bmatrix} -5 & -1 \\ -10 & -3 \end{bmatrix}
\]

### Paso 5: Sustituimos \( Y \) en la ecuación de \( X \)
Usamos la segunda ecuación para calcular \( X \):

\[
X = 2Y - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}
\]
\[
X = 2 \cdot \begin{bmatrix} -5 & -1 \\ -10 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}
\]
\[
X = \begin{bmatrix} -10 & -2 \\ -20 & -6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}
\]
\[
X = \begin{bmatrix} -12 & -3 \\ -24 & -7 \end{bmatrix}
\]

### Solución final
Las matrices \( X \) y \( Y \) son:

\[
X = \begin{bmatrix} -12 & -3 \\ -24 & -7 \end{bmatrix}, \quad Y = \begin{bmatrix} -5 & -1 \\ -10 & -3 \end{bmatrix}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los pasos? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para continuar:

1. ¿Cómo se puede verificar la solución de un sistema de ecuaciones matriciales?
2. ¿Qué significa cuando dos matrices tienen inversas?
3. ¿Cómo afecta el orden de las operaciones en ecuaciones matriciales?
4. ¿Cómo se multiplican matrices con diferentes dimensiones?
5. ¿Cuál es el papel de la matriz identidad en los sistemas matriciales?

**Tip:** Recuerda que la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que significa que \( A \cdot B \neq B \cdot A \) en la mayoría de los casos.

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales.
2∙ 𝑋−5∙𝑌 =[ 1 -1
 2 1 ]
−𝑋+2∙𝑌 =[ 2 1
 4 1 ]

Learn how to solve a system of matrix equations involving matrix addition and multiplication. This detailed step-by-step guide walks through solving for matrices X and Y, including matrix operations and algebraic manipulation. Suitable for undergraduate students studying Linear Algebra.

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