Considere las siguientes matrices

A=(■(1&-4&-4@2&2&0@-1&1&2));     B=(■(6&-1@4&5@3&-4));   C=(■(3&4&6@1&-2&0));  D=(■(6&7&0@3&-2&4@0&-1&0)).


Realice las operaciones algebraicas correspondientes según el literal seleccionado y obtenga la matriz U. Luego, realice el producto U.v ⃗, donde U es la matriz obtenida en el ítem anterior y el vector se representa como columna v ⃗=〖(4,3,-5)〗^T. Finalmente realice la comprobación utilizando GeoGebra u otro programa computacional similar


 E.       U=(B.C)+(4A-3D)+A^T


Vamos a resolver el problema paso a paso. El objetivo es obtener la matriz \( U \) mediante la expresión algebraica dada y luego calcular el producto \( U \cdot \mathbf{v} \), donde \( \mathbf{v} \) es el vector columna \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} \). Finalmente, se pide verificar con un programa computacional.

La expresión para la matriz \( U \) es:
\[
U = (B \cdot C) + (4A - 3D) + A^T
\]

### Paso 1: Calcular \( B \cdot C \)
Multiplicamos las matrices \( B \) y \( C \):
\[
B = \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 4 & 5 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 6 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}
\]
La matriz \( B \cdot C \) se obtiene multiplicando fila por columna:
\[
B \cdot C = \begin{pmatrix} 
(6 \cdot 3 + (-1) \cdot 1) & (6 \cdot 4 + (-1) \cdot (-2)) & (6 \cdot 6 + (-1) \cdot 0) \\
(4 \cdot 3 + 5 \cdot 1) & (4 \cdot 4 + 5 \cdot (-2)) & (4 \cdot 6 + 5 \cdot 0) \\
(3 \cdot 3 + (-4) \cdot 1) & (3 \cdot 4 + (-4) \cdot (-2)) & (3 \cdot 6 + (-4) \cdot 0)
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 17 & 28 & 36 \\ 17 & 6 & 24 \\ 5 & 20 & 18 \end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Calcular \( 4A - 3D \)
Primero, multiplicamos las matrices \( A \) y \( D \) por los escalares correspondientes:
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 6 & 7 & 0 \\ 3 & -2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
\]

Multiplicamos por los escalares:
\[
4A = 4 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -4 & -4 \\ 2 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -16 & -16 \\ 8 & 8 & 0 \\ -4 & 4 & 8 \end{pmatrix}
\]
\[
3D = 3 \cdot \begin{pmatrix} 6 & 7 & 0 \\ 3 & -2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 21 & 0 \\ 9 & -6 & 12 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}
\]

Ahora restamos las matrices:
\[
4A - 3D = \begin{pmatrix} 4 & -16 & -16 \\ 8 & 8 & 0 \\ -4 & 4 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 18 & 21 & 0 \\ 9 & -6 & 12 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 & -37 & -16 \\ -1 & 14 & -12 \\ -4 & 7 & 8 \end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Calcular la transpuesta de \( A \), \( A^T \)
La transpuesta de \( A \) se obtiene al intercambiar filas por columnas:
\[
A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -4 & 2 & 1 \\ -4 & 0 & 2 \end{pmatrix}
\]

### Paso 4: Sumar todas las matrices
Sumamos las matrices obtenidas:
\[
U = B \cdot C + (4A - 3D) + A^T
\]
\[
U = \begin{pmatrix} 17 & 28 & 36 \\ 17 & 6 & 24 \\ 5 & 20 & 18 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -14 & -37 & -16 \\ -1 & 14 & -12 \\ -4 & 7 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ -4 & 2 & 1 \\ -4 & 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
Realizamos la suma:
\[
U = \begin{pmatrix} 17 + (-14) + 1 & 28 + (-37) + 2 & 36 + (-16) + (-4) \\ 17 + (-1) + (-4) & 6 + 14 + 2 & 24 + (-12) + 1 \\ 5 + (-4) + (-4) & 20 + 7 + 0 & 18 + 8 + 2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 4 & -7 & 16 \\ 12 & 22 & 13 \\ -3 & 27 & 28 \end{pmatrix}
\]

### Paso 5: Producto \( U \cdot \mathbf{v} \)
Ahora multiplicamos \( U \) por el vector \( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix} \):
\[
U \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4 & -7 & 16 \\ 12 & 22 & 13 \\ -3 & 27 & 28 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -5 \end{pmatrix}
\]
Realizamos la multiplicación fila por columna:
\[
U \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} (4 \cdot 4 + (-7) \cdot 3 + 16 \cdot (-5)) \\ (12 \cdot 4 + 22 \cdot 3 + 13 \cdot (-5)) \\ (-3 \cdot 4 + 27 \cdot 3 + 28 \cdot (-5)) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 - 21 - 80 \\ 48 + 66 - 65 \\ -12 + 81 - 140 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -85 \\ 49 \\ -71 \end{pmatrix}
\]

Por lo tanto, el resultado del producto es:
\[
U \cdot \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -85 \\ 49 \\ -71 \end{pmatrix}
\]

### Resumen:
- La matriz \( U \) es: \( \begin{pmatrix} 4 & -7 & 16 \\ 12 & 22 & 13 \\ -3 & 27 & 28 \end{pmatrix} \)
- El producto \( U \cdot \mathbf{v} \) es: \( \begin{pmatrix} -85 \\ 49 \\ -71 \end{pmatrix} \)

Si deseas, puedes verificar el resultado en GeoGebra o algún otro programa.

---

¿Quieres más detalles sobre algún paso o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se realiza la multiplicación de matrices en general?
2. ¿Qué propiedades tiene la transpuesta de una matriz?
3. ¿Cómo afectan los escalares a las matrices al multiplicarlos?
4. ¿Qué métodos existen para verificar los cálculos de matrices?
5. ¿Cuáles son las aplicaciones del producto matriz-vector?

**Tip:** Al multiplicar matrices, recuerda que el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

Considere las siguientes matrices A=(■(1&-4&-4@2&2&0@-1&1&2)); B=(■(6&-1@4&5@3&-4)); C=(■(3&4&6@1&-2&0)); D=(■(6&7&0@3&-2&4@0&-1&0)). Realice las operaciones algebraicas correspondientes según el literal seleccionado y obtenga la matriz U. Luego, realice el producto U.v ⃗, donde U es la matriz obtenida en el ítem anterior y el vector se representa como columna v ⃗=〖(4,3,-5)〗^T. Finalmente realice la comprobación utilizando GeoGebra u otro programa computacional similar. E. U=(B.C)+(4A-3D)+A^T

Learn how to perform matrix operations, including matrix multiplication, scalar multiplication, and transposition. This detailed solution solves for U = (BC) + (4A - 3D) + A^T and computes the matrix-vector product U * v. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

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