n趋于无穷，求极限lim((n+1)^a-n^a)/n^b，其中b＞a

我们来求以下极限：

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a - n^a}{n^b}
\]
其中 \(b > a\)。

### 解题步骤：

1. **表达式重写：**  
   首先，我们对分子进行处理：

   \[
   (n+1)^a - n^a = \left( n\left(1 + \frac{1}{n}\right) \right)^a - n^a = n^a \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^a - 1 \right)
   \]

   因此，原表达式可以写为：

   \[
   \frac{(n+1)^a - n^a}{n^b} = \frac{n^a \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^a - 1 \right)}{n^b} = n^{a-b} \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^a - 1 \right)
   \]

2. **泰勒展开：**  
   当 \(n \to \infty\) 时，使用泰勒展开对 \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^a\) 展开：

   \[
   \left(1 + \frac{1}{n}\right)^a \approx 1 + \frac{a}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)
   \]

   因此：

   \[
   \left(1 + \frac{1}{n}\right)^a - 1 \approx \frac{a}{n}
   \]

3. **极限计算：**  
   将其代入原式：

   \[
   n^{a-b} \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^a - 1 \right) \approx n^{a-b} \cdot \frac{a}{n} = a n^{a-b-1}
   \]

   因为 \(b > a\)，所以 \(a-b-1 < 0\)。当 \(n \to \infty\) 时，\(n^{a-b-1} \to 0\)。

4. **最终结果：**  
   因此，极限为：

   \[
   \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a - n^a}{n^b} = 0
   \]

### 结论：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a - n^a}{n^b} = 0
\]

是否需要进一步的细节？  
另外，下面是5个相关问题来扩展你的理解：

1. 如何使用洛必达法则计算类似的极限？
2. 泰勒展开如何用于多项式中的高次项估算？
3. 若 \(b = a\)，此时的极限值是多少？
4. 当 \(b < a\) 时，如何求解此类极限？
5. 讨论 \(n \to \infty\) 时，常用的估计方法有哪些？

**提示：**  
当处理无穷极限问题时，泰勒展开是一种强有力的工具，可以将复杂表达式简化为更容易处理的形式。

This page provides a detailed solution to the limit problem lim((n+1)^a - n^a)/n^b as n approaches infinity, where b > a. The solution uses calculus concepts, including Taylor expansion and asymptotic analysis, suitable for advanced high school or undergraduate students.

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