Desarrollo de  Laurent de f(z)=1/((z-1)(z-2)),|z|>2

Para desarrollar la **Serie de Laurent** de la función \( f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} \) en la región donde \( |z| > 2 \), procedemos de la siguiente manera:

### 1. Expresar la función en términos adecuados

Queremos que el desarrollo de Laurent sea en potencias de \( \frac{1}{z} \), ya que estamos en la región \( |z| > 2 \). Reescribamos la función de manera conveniente para poder expandirla.

\[
f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}
\]

Factorizamos cada término denominador de tal forma que nos permita trabajar con series geométricas:

\[
f(z) = \frac{1}{z\left(1 - \frac{1}{z}\right) z\left(1 - \frac{2}{z}\right)}
\]

Multiplicamos ambos factores:

\[
f(z) = \frac{1}{z^2 \left(1 - \frac{1}{z}\right) \left(1 - \frac{2}{z}\right)}
\]

### 2. Expandir los términos como series geométricas

Sabemos que la expansión de \( \frac{1}{1 - w} \) para \( |w| < 1 \) es:

\[
\frac{1}{1 - w} = \sum_{n=0}^{\infty} w^n
\]

Usamos esta fórmula para expandir los términos \( \frac{1}{1 - \frac{1}{z}} \) y \( \frac{1}{1 - \frac{2}{z}} \):

\[
\frac{1}{1 - \frac{1}{z}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{z}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^n}
\]
\[
\frac{1}{1 - \frac{2}{z}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{z}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{z^n}
\]

### 3. Multiplicar las series

Ahora multiplicamos ambas expansiones:

\[
f(z) = \frac{1}{z^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{z^n} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{2^m}{z^m}
\]

Para multiplicar estas series, usamos la convolución de índices:

\[
f(z) = \frac{1}{z^2} \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{k} 2^{k-n} \frac{1}{z^k}
\]

### 4. Resultado final

El desarrollo de Laurent de \( f(z) \) en la región \( |z| > 2 \) es una serie en potencias negativas de \( z \):

\[
f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^{-k-2}
\]

Donde los coeficientes \( a_k \) pueden ser calculados usando la expansión geométrica. 

---

¿Te gustaría ver más detalles de los cálculos o necesitas más información? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina el radio de convergencia de una Serie de Laurent?
2. ¿Cuál es la diferencia entre una Serie de Laurent y una Serie de Taylor?
3. ¿Cómo afecta la región de convergencia a la forma de la Serie de Laurent?
4. ¿Qué sucede si la región es \( 1 < |z| < 2 \)?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las Series de Laurent en análisis complejo?

**Tip:** Las Series de Laurent permiten representar funciones con singularidades, lo que es esencial en análisis complejo.

Desarrollo de Laurent de f(z)=1/((z-1)(z-2)), |z|>2

Aprende cómo desarrollar la Serie de Laurent de la función f(z) = 1 / ((z - 1)(z - 2)) en la región donde |z| > 2. Este problema abarca conceptos avanzados de análisis complejo, como las series geométricas y el Teorema de Laurent. Adecuado para estudiantes de nivel universitario.

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