Determine la recta de intersección de los planos. Resolver el sistema


x + 2y − z = 4
−3x − 5y + 4z = −10

Para determinar la recta de intersección de los planos \( \Pi_1 \) y \( \Pi_2 \), necesitamos resolver el sistema formado por sus ecuaciones:

\[
\begin{aligned}
\Pi_1: & \quad x + 2y - z = 4 \\
\Pi_2: & \quad -3x - 5y + 4z = -10
\end{aligned}
\]

### Paso 1: Resolver el sistema por reducción
Vamos a despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones. Despejemos \( z \) de la primera ecuación \( \Pi_1 \).

\[
x + 2y - z = 4 \implies z = x + 2y - 4
\]

### Paso 2: Sustituir \( z \) en la segunda ecuación
Ahora sustituimos \( z = x + 2y - 4 \) en la ecuación del segundo plano \( \Pi_2 \).

\[
-3x - 5y + 4(x + 2y - 4) = -10
\]

Desarrollamos los términos:

\[
-3x - 5y + 4x + 8y - 16 = -10
\]

Simplificamos:

\[
x + 3y - 16 = -10
\]

\[
x + 3y = 6
\]

### Paso 3: Despejar una variable
Despejamos \( x \) de la ecuación resultante:

\[
x = 6 - 3y
\]

### Paso 4: Sustituir en la ecuación de \( z \)
Sustituimos \( x = 6 - 3y \) en la expresión para \( z \):

\[
z = (6 - 3y) + 2y - 4
\]

Simplificamos:

\[
z = 6 - 3y + 2y - 4 = 2 - y
\]

### Paso 5: Parametrización de la recta
Ya tenemos las expresiones para \( x \), \( y \) y \( z \) en términos de \( y \). Si tomamos \( y = t \) como parámetro, podemos parametrizar la recta de intersección de los planos de la siguiente manera:

\[
\begin{aligned}
x & = 6 - 3t \\
y & = t \\
z & = 2 - t
\end{aligned}
\]

Por lo tanto, la recta de intersección de los planos está dada por el conjunto de puntos:

\[
(x, y, z) = (6 - 3t, t, 2 - t)
\]

donde \( t \in \mathbb{R} \) es un parámetro libre.

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta? 

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se representa una recta en el espacio de manera general?
2. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver un sistema de planos?
3. ¿Qué interpretación geométrica tiene la intersección de dos planos en el espacio tridimensional?
4. ¿Cómo saber si dos planos no se intersectan?
5. ¿Cómo se podría obtener el ángulo entre dos planos?

**Tip:** Cuando trabajas con la intersección de planos, puedes usar el método de sustitución o eliminación para simplificar el sistema y llegar a la ecuación de la recta.

Learn how to determine the intersection line of two planes by solving a system of linear equations. This problem involves systems of linear equations, plane intersection in 3D space, and parametric equations. Suitable for advanced high school students.

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