https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726698075385gc0x7o43.docx

revisa y resuelve correctamente las actividades del archivo adjunto

He revisado las actividades que has adjuntado, las cuales incluyen ejercicios de integración por partes y fracciones parciales. A continuación te proporciono la resolución completa de ambos ejercicios:

### Ejercicio 5.1: Integración por partes
Resolver la integral:

\[
\int (x^2 + 1) \ln(x) \, dx
\]

**Pasos de solución**:

1. Usamos la fórmula de integración por partes:
   \[
   \int u \, dv = uv - \int v \, du
   \]

2. Elegimos:
   - \( u = \ln(x) \), entonces \( du = \frac{1}{x} dx \)
   - \( dv = (x^2 + 1) dx \), entonces \( v = \int (x^2 + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x \)

3. Aplicamos la fórmula de integración por partes:
   \[
   \int (x^2 + 1) \ln(x) \, dx = \ln(x) \left( \frac{x^3}{3} + x \right) - \int \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \frac{1}{x} \, dx
   \]

4. Simplificamos la integral restante:
   \[
   = \ln(x) \left( \frac{x^3}{3} + x \right) - \int \left( \frac{x^2}{3} + 1 \right) \, dx
   \]

5. Integramos:
   \[
   \int \left( \frac{x^2}{3} + 1 \right) dx = \frac{x^3}{9} + x
   \]

6. Sustituyendo el resultado:
   \[
   \int (x^2 + 1) \ln(x) \, dx = \ln(x) \left( \frac{x^3}{3} + x \right) - \left( \frac{x^3}{9} + x \right) + C
   \]

**Solución final**:
\[
\int (x^2 + 1) \ln(x) \, dx = \ln(x) \left( \frac{x^3}{3} + x \right) - \left( \frac{x^3}{9} + x \right) + C
\]

---

### Ejercicio 5.2: Integración de funciones racionales
Resolver la integral:

\[
\int \frac{6x^2 - 3x + 1}{x^3 - x^2} \, dx
\]

**Pasos de solución**:

1. Factorizamos el denominador:
   \[
   x^3 - x^2 = x^2(x - 1)
   \]

2. Establecemos la descomposición en fracciones parciales:
   \[
   \frac{6x^2 - 3x + 1}{x^2(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x - 1}
   \]

3. Multiplicamos ambos lados por \( x^2(x - 1) \):
   \[
   6x^2 - 3x + 1 = A x(x - 1) + B(x - 1) + C x^2
   \]

4. Expandimos:
   \[
   6x^2 - 3x + 1 = A x^2 - A x + B x - B + C x^2
   \]

5. Agrupamos términos:
   \[
   6x^2 - 3x + 1 = (A + C)x^2 + (B - A)x - B
   \]

6. Igualamos coeficientes:
   - \( A + C = 6 \)
   - \( B - A = -3 \)
   - \( -B = 1 \)

7. Resolviendo el sistema:
   - \( B = -1 \)
   - \( A = 2 \)
   - \( C = 4 \)

8. Descomposición final:
   \[
   \frac{6x^2 - 3x + 1}{x^2(x - 1)} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x - 1}
   \]

9. Integramos cada término:
   \[
   \int \frac{6x^2 - 3x + 1}{x^2(x - 1)} \, dx = \int \left( \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x - 1} \right) \, dx
   \]
   \[
   = 2 \ln|x| + \frac{1}{x} + 4 \ln|x - 1| + C
   \]

**Solución final**:
\[
\int \frac{6x^2 - 3x + 1}{x^2(x - 1)} \, dx = 2 \ln|x| + \frac{1}{x} + 4 \ln|x - 1| + C
\]

---

Si tienes preguntas o te gustaría más detalles sobre los pasos, avísame.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se eligen las funciones \(u\) y \(dv\) en la integración por partes?
2. ¿Qué sucede si el denominador de una función racional no es factorizable?
3. ¿Cuáles son otros métodos de integración cuando las fracciones parciales no se aplican?
4. ¿Por qué la integración por partes es útil para integrar productos de funciones logarítmicas?
5. ¿Cómo se pueden aplicar estos métodos en problemas de física?

**Tip**: Al descomponer funciones racionales, siempre revisa si el denominador se puede factorizar primero, lo que facilita encontrar las fracciones parciales.

Detailed solutions for integration by parts and rational functions. Solve the integral ∫(x² + 1)lnx dx using integration by parts and ∫(6x² - 3x + 1)/(x³ - x²) dx using partial fractions decomposition. Ideal for high school calculus and college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation