puedes tarminar de calcular paso a paso la integral

Por supuesto, vamos a calcular paso a paso la integral \(\int \sec(x) \, dx\) utilizando la identidad:

\[
\sec(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)} + \frac{\cos(x)}{\cos(x) + \sin(x)}
\]

Queremos encontrar:

\[
\int \sec(x) \, dx = \int \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)} + \frac{\cos(x)}{\cos(x) + \sin(x)}\right) dx
\]

### Paso 1: Resolver cada integral por separado

#### 1. Integral de \(\frac{\sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)}\):

Usamos la sustitución \(u = \cos(x) - \sin(x)\). Entonces, la derivada es:

\[
du = -(\sin(x) + \cos(x)) \, dx
\]

Podemos reorganizar esto como:

\[
-\frac{du}{\sin(x) + \cos(x)} = dx
\]

Sustituyendo en la integral:

\[
\int \frac{\sin(x)}{\cos(x) - \sin(x)} \, dx = -\int \frac{\sin(x)}{u (\sin(x) + \cos(x))} \, du
\]

Observamos que \(\frac{\sin(x)}{\sin(x) + \cos(x)}\) es constante respecto a \(u\), lo que permite simplificar la integral:

\[
-\int \frac{1}{u} \, du = -\ln|u| + C_1
\]

Volviendo a la variable original \(u = \cos(x) - \sin(x)\):

\[
-\ln|\cos(x) - \sin(x)| + C_1
\]

#### 2. Integral de \(\frac{\cos(x)}{\cos(x) + \sin(x)}\):

Para esta integral, utilizamos la sustitución \(v = \cos(x) + \sin(x)\), y la derivada es:

\[
dv = -(\sin(x) + \cos(x)) \, dx
\]

Esto se reorganiza a:

\[
-\frac{dv}{\sin(x) + \cos(x)} = dx
\]

Entonces, la integral se convierte en:

\[
-\int \frac{\cos(x)}{v (\sin(x) + \cos(x))} \, dv = -\int \frac{1}{v} \, dv = -\ln|v| + C_2
\]

Volviendo a la variable original \(v = \cos(x) + \sin(x)\):

\[
-\ln|\cos(x) + \sin(x)| + C_2
\]

### Paso 2: Sumar las dos integrales

Ahora sumamos las dos integrales calculadas:

\[
\int \sec(x) \, dx = -\ln|\cos(x) - \sin(x)| - \ln|\cos(x) + \sin(x)| + C
\]

Usando propiedades de logaritmos, podemos combinar los términos:

\[
\int \sec(x) \, dx = -\ln|\cos(x) - \sin(x)||\cos(x) + \sin(x)| + C
\]

### Paso 3: Simplificación final

Recordamos que:

\[
\sec(x) + \tan(x) = \frac{1 + \sin(x)}{\cos(x)}
\]

Lo que nos permite simplificar la expresión obtenida:

\[
\int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C
\]

De esta forma, llegamos a la fórmula final:

\[
\int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C
\]

---

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Cómo demostrarías la identidad \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)?
2. ¿Qué sustitución utilizarías para resolver \(\int \csc(x) \, dx\)?
3. ¿Cómo calcularías \(\int \cos(x) \, dx\) usando identidades trigonométricas?
4. ¿Qué pasa si intentas resolver \(\int \cot(x) \, dx\) utilizando la misma técnica?
5. ¿Cuál es la derivada de \(\ln|\sec(x) + \tan(x)|\)?

**Consejo:** Al resolver integrales, especialmente las que involucran funciones trigonométricas, las sustituciones inteligentes y el uso de identidades son claves para simplificar el proceso.

Learn how to calculate the integral ∫ sec(x) dx step-by-step using trigonometric identities and integration techniques. This detailed solution covers the integration of secant function, substitutions involving trigonometric identities, and simplification using logarithmic properties.

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