Para calcular la integral indefinida de \(\sec(x) \, dx\), seguimos estos pasos:

\[
\int \sec(x) \, dx
\]

Podemos usar la técnica de multiplicar y dividir por \(\sec(x) + \tan(x)\):

\[
\int \sec(x) \, dx = \int \frac{\sec(x)(\sec(x) + \tan(x))}{\sec(x) + \tan(x)} \, dx
\]

Esto nos permite reescribir la integral como:

\[
\int \frac{\sec^2(x) + \sec(x) \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \, dx
\]

Luego, aplicamos la sustitución \(u = \sec(x) + \tan(x)\). Entonces, la derivada de \(u\) con respecto a \(x\) es:

\[
\frac{du}{dx} = \sec(x) \tan(x) + \sec^2(x) = \sec(x)(\sec(x) + \tan(x))
\]

Esto implica que \(du = \sec(x)(\sec(x) + \tan(x)) \, dx\), y sustituyendo en la integral, tenemos:

\[
\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C = \ln |\sec(x) + \tan(x)| + C
\]

Por lo tanto, la solución de la integral es:

\[
\int \sec(x) \, dx = \ln |\sec(x) + \tan(x)| + C
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelve la integral de \(\csc(x) \, dx\)?
2. ¿Cómo aplicar sustitución trigonométrica para integrales más complejas?
3. ¿Cuál es la derivada de \(\ln |\sec(x) + \tan(x)|\)?
4. ¿Qué otras técnicas de integración existen para funciones trigonométricas?
5. ¿Cómo resolver integrales definidas que involucren \(\sec(x)\)?

**Tip:** Para funciones trigonométricas complejas, considerar la multiplicación y división por una expresión útil puede simplificar significativamente la integral.

Learn how to calculate the indefinite integral of sec(x) using the substitution rule. The solution includes a detailed step-by-step process, from transforming the expression to applying the formula. Suitable for undergraduate calculus students.

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