https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1726528540634cz7cfy4r.jpg

Resuelve paso por paso por sustitución trigonometría 

La integral que aparece en la imagen es:

\[
\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 + 36}}
\]

Vamos a resolverla utilizando sustitución trigonométrica. La forma del integrando sugiere que usemos la sustitución para una forma de \( a^2 + x^2 \), lo que se resuelve usando la sustitución \( x = 6 \tan(\theta) \), ya que \( \sqrt{x^2 + 36} \) es de la forma \( \sqrt{6^2 + x^2} \).

### Paso 1: Sustitución trigonométrica
Usamos la sustitución:
\[
x = 6 \tan(\theta)
\]
Esto implica que:
\[
dx = 6 \sec^2(\theta) d\theta
\]
y además:
\[
\sqrt{x^2 + 36} = \sqrt{36\tan^2(\theta) + 36} = 6\sec(\theta)
\]

### Paso 2: Reemplazar en la integral
Sustituyendo estos valores en la integral original, obtenemos:

\[
\int \frac{6 \sec^2(\theta) d\theta}{6\tan(\theta) \cdot 6\sec(\theta)} = \int \frac{\sec(\theta)}{\tan(\theta)} d\theta
\]

Simplificamos el integrando:
\[
\frac{\sec(\theta)}{\tan(\theta)} = \frac{1}{\sin(\theta)}
\]

Por lo tanto, la integral queda:

\[
\int \frac{1}{\sin(\theta)} d\theta = \int \csc(\theta) d\theta
\]

### Paso 3: Resolver la integral de \( \csc(\theta) \)
La integral de \( \csc(\theta) \) es una integral conocida:

\[
\int \csc(\theta) d\theta = \ln \left| \csc(\theta) - \cot(\theta) \right| + C
\]

### Paso 4: Regresar a la variable \( x \)
Debemos ahora regresar a la variable \( x \). Sabemos que:

\[
\tan(\theta) = \frac{x}{6}, \quad \text{por lo que} \quad \theta = \tan^{-1} \left( \frac{x}{6} \right)
\]

Además:
\[
\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{\sqrt{x^2 + 36}}{x}
\]
y
\[
\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{6}{x}
\]

Sustituyendo estos valores en la solución de la integral:

\[
\ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 36}}{x} - \frac{6}{x} \right| + C = \ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 36} - 6}{x} \right| + C
\]

Por lo tanto, la solución final es:

\[
\ln \left| \frac{\sqrt{x^2 + 36} - 6}{x} \right| + C
\]

### ¿Tienes preguntas o te gustaría ver más detalles?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué otras sustituciones trigonométricas se pueden usar en integrales?
2. ¿Cómo se deriva la integral de \( \csc(\theta) \)?
3. ¿Qué sucede si cambias la forma del integrando, por ejemplo, si fuera \( \sqrt{36 - x^2} \)?
4. ¿Cómo se resolvería la integral usando un enfoque no trigonométrico?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las integrales con sustituciones trigonométricas?

### Tip:
Recuerda que las integrales que involucran raíces cuadradas con sumas o diferencias de cuadrados se suelen resolver usando sustituciones trigonométricas.

Resuelve paso por paso por sustitución trigonometría

Solve the integral ∫(dx / (x√(x^2 + 36))) using trigonometric substitution. Learn the detailed steps, including the substitution x = 6tan(θ) and solving ∫csc(θ)dθ. Ideal for students studying university-level calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation