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resuelve esa integral con todos los pasos

La integral que has subido es:

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{1 + \cos 2x}}
\]

Voy a resolverla paso a paso.

### Paso 1: Simplificación del integrando

Utilizaremos una identidad trigonométrica para simplificar la expresión bajo la raíz. La identidad que vamos a utilizar es:

\[
1 + \cos 2x = 2\cos^2 x
\]

Entonces, la integral se convierte en:

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{2\cos^2 x}}
\]

Esto se puede simplificar aún más:

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{2}|\cos x|}
\]

### Paso 2: Simplificación adicional

Podemos sacar \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) fuera de la integral:

\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dx}{|\cos x|}
\]

### Paso 3: Consideración del valor absoluto

La función \( \frac{1}{|\cos x|} \) es igual a \( \sec x \) si \( \cos x > 0 \) y \(-\sec x\) si \( \cos x < 0 \). Por simplicidad, podemos asumir que \( x \) está en un intervalo donde \( \cos x > 0 \), por lo que \( |\cos x| = \cos x \), y la integral se convierte en:

\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \int \sec x \, dx
\]

### Paso 4: Resolver la integral de \(\sec x\)

La integral de \( \sec x \) es bien conocida:

\[
\int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C
\]

Entonces, la integral completa es:

\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \ln |\sec x + \tan x| + C
\]

### Respuesta final

La integral dada se resuelve como:

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{1 + \cos 2x}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln |\sec x + \tan x| + C
\]

¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles sobre algún paso?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se deduce la identidad trigonométrica \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\)?
2. ¿Cuál es el proceso para integrar funciones como \( \sec x \)?
3. ¿Cómo afectan las restricciones de intervalo en la integración de funciones con valor absoluto?
4. ¿Qué otras funciones trigonométricas pueden simplificarse utilizando identidades?
5. ¿Cómo se derivan las funciones logarítmicas involucradas en la solución?

### Tip:
Al resolver integrales, utilizar identidades trigonométricas puede simplificar significativamente el proceso de integración.

Explore the step-by-step solution for the integral of 1 / sqrt(1 + cos(2x)). Learn how to simplify using trigonometric identities and integrate secant functions. Suitable for college-level students and enthusiasts of advanced calculus.

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