A derivação implícita é uma técnica que possibilita o cálculo de derivadas de funções implicitamente definidas, onde as relações entre as variáveis são complexas e não facilmente isoladas. Usando regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia, é possível encontrar derivadas parciais e totais, expandindo as possibilidades de resolução de problemas na matemática aplicada em áreas como física, engenharia e economia.

Com base nesse tema, seja a função definida implicitamente como:

x
2
-
4
x
y
+
y
2
=
4

Qual é a expressão de 
d
y
d
x
 obtida por derivação implícita?

Para resolver a derivada implícita da equação \( x^2 - 4xy + y^2 = 4 \), devemos derivar ambos os lados da equação em relação a \( x \). Lembre-se de que \( y \) é uma função de \( x \), ou seja, precisamos aplicar a **regra da cadeia** sempre que derivarmos termos envolvendo \( y \).

### Passo 1: Derivando ambos os lados da equação
A equação original é:
\[
x^2 - 4xy + y^2 = 4
\]

Agora, derivamos em relação a \( x \):

#### Derivando \( x^2 \)
\[
\frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]

#### Derivando \( -4xy \)
Aqui, temos um produto de duas funções \( x \) e \( y(x) \). Aplicamos a **regra do produto**:

\[
\frac{d}{dx}(-4xy) = -4\left( \frac{d}{dx}(x) \cdot y + x \cdot \frac{d}{dx}(y) \right) = -4(y + x \cdot \frac{dy}{dx})
\]

#### Derivando \( y^2 \)
Para \( y^2 \), usamos a **regra da cadeia**, pois \( y \) é uma função de \( x \):

\[
\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx}
\]

#### Derivando o lado direito \( 4 \)
Como \( 4 \) é uma constante, sua derivada é zero:

\[
\frac{d}{dx}(4) = 0
\]

### Passo 2: Montando a equação derivada
Juntando todos os resultados, obtemos a seguinte equação derivada:

\[
2x - 4(y + x \cdot \frac{dy}{dx}) + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0
\]

### Passo 3: Isolando \( \frac{dy}{dx} \)
Agora, devemos isolar \( \frac{dy}{dx} \). Primeiro, expandimos os termos:

\[
2x - 4y - 4x \cdot \frac{dy}{dx} + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0
\]

Agora, colocamos os termos com \( \frac{dy}{dx} \) em um lado e os outros termos no outro lado:

\[
- 4x \cdot \frac{dy}{dx} + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 4y - 2x
\]

Fatoramos \( \frac{dy}{dx} \) no lado esquerdo:

\[
\frac{dy}{dx}(-4x + 2y) = 4y - 2x
\]

Por fim, isolamos \( \frac{dy}{dx} \):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{4y - 2x}{2y - 4x}
\]

### Passo 4: Simplificando a expressão
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por 2:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}{y - 2x}
\]

### Resultado final:

A expressão para \( \frac{dy}{dx} \) é:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x}{y - 2x}
\]

Se precisar de mais detalhes ou tiver dúvidas, fico à disposição!

---

**Perguntas Relativas**:
1. Como funciona a regra do produto em derivadas implícitas?
2. Por que aplicamos a regra da cadeia ao derivar \( y^2 \)?
3. Quais são os tipos de funções que exigem derivação implícita?
4. Como derivar uma equação com mais de duas variáveis usando derivação implícita?
5. Quais aplicações práticas da derivação implícita na física?

**Dica**: Sempre que derivar uma função em termos de outra variável, lembre-se de aplicar a regra da cadeia para manter a precisão.

A derivação implícita é uma técnica que possibilita o cálculo de derivadas de funções implicitamente definidas, onde as relações entre as variáveis são complexas e não facilmente isoladas. Usando regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia, é possível encontrar derivadas parciais e totais, expandindo as possibilidades de resolução de problemas na matemática aplicada em áreas como física, engenharia e economia. Com base nesse tema, seja a função definida implicitamente como: x² - 4xy + y² = 4, qual é a expressão de dy/dx obtida por derivação implícita?

Learn how to solve the implicit differentiation of x² - 4xy + y² = 4 using key calculus concepts like the chain rule and product rule. This detailed step-by-step solution explains how to find dy/dx for implicitly defined functions, ideal for students studying calculus in physics, engineering, or mathematics.

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