Para encontrar la derivada implícita de la ecuación \(4 \cos(x) \cos(y) = 3\), seguimos estos pasos:

1. **Diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a \(x\):**

\[
\frac{d}{dx} [4 \cos(x) \cos(y)] = \frac{d}{dx} [3]
\]

2. **Aplicar la regla del producto en el lado izquierdo:**

\[
\frac{d}{dx} [4 \cos(x) \cos(y)] = 4 \left( \cos(y) \frac{d}{dx} [\cos(x)] + \cos(x) \frac{d}{dx} [\cos(y)] \right)
\]

3. **Diferenciar \(\cos(x)\) y \(\cos(y)\):**

\[
\frac{d}{dx} [\cos(x)] = -\sin(x)
\]
\[
\frac{d}{dx} [\cos(y)] = -\sin(y) \frac{dy}{dx}
\]

4. **Sustituir las derivadas en la ecuación:**

\[
4 \left( \cos(y) (-\sin(x)) + \cos(x) (-\sin(y) \frac{dy}{dx}) \right) = 0
\]

5. **Simplificar la ecuación:**

\[
4 \left( -\cos(y) \sin(x) - \cos(x) \sin(y) \frac{dy}{dx} \right) = 0
\]

6. **Despejar \(\frac{dy}{dx}\):**

\[
-4 \cos(y) \sin(x) - 4 \cos(x) \sin(y) \frac{dy}{dx} = 0
\]

\[
-4 \cos(y) \sin(x) = 4 \cos(x) \sin(y) \frac{dy}{dx}
\]

\[
-\cos(y) \sin(x) = \cos(x) \sin(y) \frac{dy}{dx}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-\cos(y) \sin(x)}{\cos(x) \sin(y)}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos(y) \sin(x)}{\cos(x) \sin(y)}
\]

Por lo tanto, la derivada implícita \(\frac{dy}{dx}\) es:

\[
\boxed{-\frac{\cos(y) \sin(x)}{\cos(x) \sin(y)}}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este procedimiento?

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1. ¿Cómo se aplica la regla del producto en la diferenciación?
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6. ¿Cuál es la diferencia entre derivada implícita y explícita?
7. ¿En qué contextos se utiliza la derivada implícita en la vida real?
8. ¿Cómo se puede verificar la corrección de una derivada implícita?

### Tip
**Recuerda**: Al trabajar con derivadas implícitas, siempre aplica la regla de la cadena cuando diferencies una variable dependiente de otra.

Learn how to find the implicit differentiation of the equation 4cos(x)cos(y)=3 with a step-by-step solution. This problem involves implicit differentiation and trigonometric functions, suitable for university-level mathematics.

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