Hallar la ecuación de la hiperbola cuyo eje imaginario mide 12; sus asintotas son y = 3x + 2 y= - 3x -4.y tiene eje real paralelo a x graficar

Para hallar la ecuación de una hipérbola, debemos tener en cuenta la información proporcionada, que incluye las características de los ejes, las asíntotas y otras propiedades.

### Paso 1: Eje imaginario
El enunciado menciona que el eje imaginario mide 12 unidades. Esto significa que la distancia entre los vértices de la hipérbola en el eje \( y \) es 12. Por lo tanto, el valor de \( 2b \) (donde \( b \) es la semidistancia del eje imaginario) es 12, lo que implica que \( b = 6 \).

### Paso 2: Asíntotas
Las asíntotas de la hipérbola son líneas de la forma:

\[
y = \pm m(x - x_0) + y_0
\]

En este caso, las asíntotas son:
- \( y = 3x + 2 \)
- \( y = -3x - 4 \)

Estas ecuaciones de las asíntotas indican que la pendiente \( m \) de las asíntotas es \( 3 \), por lo que:

\[
m = \frac{b}{a} = 3
\]

Entonces, usando \( b = 6 \), podemos resolver para \( a \):

\[
\frac{6}{a} = 3 \implies a = 2
\]

### Paso 3: Ecuación de la hipérbola
Dado que el eje real es paralelo al eje \( x \), la ecuación de la hipérbola es de la forma:

\[
\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1
\]

Sabemos que \( a = 2 \) y \( b = 6 \), así que podemos reemplazarlos en la ecuación:

\[
\frac{(x - x_0)^2}{4} - \frac{(y - y_0)^2}{36} = 1
\]

### Paso 4: Encontrar el centro
Para encontrar el centro \( (x_0, y_0) \), observamos las asíntotas. El punto medio de las intersecciones de las dos asíntotas nos da el centro de la hipérbola. El centro se puede hallar al resolver el sistema de ecuaciones de las asíntotas:

\[
3x + 2 = -3x - 4
\]

Resolviendo esto:

\[
6x = -6 \implies x_0 = -1
\]

Sustituyendo \( x_0 = -1 \) en una de las ecuaciones de las asíntotas para hallar \( y_0 \):

\[
y_0 = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1
\]

Por lo tanto, el centro es \( (-1, -1) \).

### Paso 5: Ecuación final de la hipérbola

Sustituyendo el centro \( (-1, -1) \), \( a = 2 \), y \( b = 6 \) en la ecuación general:

\[
\frac{(x + 1)^2}{4} - \frac{(y + 1)^2}{36} = 1
\]

Esta es la ecuación de la hipérbola.

### Paso 6: Graficar
La gráfica de la hipérbola tiene el centro en \( (-1, -1) \), sus asíntotas con pendientes \( 3 \) y \( -3 \), y sus ramas abiertas hacia la derecha e izquierda, debido a que el eje real es paralelo al eje \( x \).

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¿Te gustaría ver más detalles de la gráfica o profundizar en algún paso?

#### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo influye la pendiente de las asíntotas en la forma de la hipérbola?
2. ¿Qué significan \( a \) y \( b \) en una hipérbola y cómo se interpretan geométricamente?
3. ¿Cómo afecta el centro de la hipérbola a su gráfica?
4. ¿Qué otros métodos existen para encontrar la ecuación de una hipérbola?
5. ¿Cuál es la diferencia entre el eje real y el eje imaginario en una hipérbola?

#### Tip:
En una hipérbola, el valor de \( b \) afecta el ancho de la abertura, mientras que \( a \) determina la distancia entre los vértices en el eje real.

Hallar la ecuación de la hiperbola cuyo eje imaginario mide 12; sus asintotas son y = 3x + 2 y= - 3x -4. y tiene eje real paralelo a x graficar

This problem involves finding the equation of a hyperbola with an imaginary axis of 12 units and given asymptotes y=3x+2 and y=-3x-4. The solution includes key steps such as determining the center, calculating the semi-distances, and applying the standard hyperbola equation. Ideal for students in Grades 10-12.

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