tema: funciones racionales
2) Representa graficamente una funcion que cumpla las condiciones dadas
a-) Tiene una asintota horizontal en y= 1, y dos asintotas verticales en x= 0, x= 4. Entre las dos asintotas, la funcion toma unicamente valores positivos

Para representar una función que cumpla con las condiciones dadas, podemos crear una función racional. La función tendrá asintotas verticales en \( x = 0 \) y \( x = 4 \), y una asíntota horizontal en \( y = 1 \). Además, entre las dos asintotas verticales, la función solo toma valores positivos.

### Paso 1: Estructura general de la función

Una función que tenga asintotas verticales en \( x = 0 \) y \( x = 4 \) tendrá denominadores que se anulan en esos valores. Por ejemplo:

\[
f(x) = \frac{N(x)}{D(x)} = \frac{k}{(x)(x - 4)}
\]

donde \( N(x) \) es el numerador y \( D(x) \) el denominador. Aquí, \( (x)(x - 4) \) en el denominador garantiza que existan asintotas verticales en \( x = 0 \) y \( x = 4 \).

### Paso 2: Asintota horizontal en \( y = 1 \)

Para que la función tenga una asintota horizontal en \( y = 1 \), necesitamos que el límite de la función cuando \( x \) tiende a infinito sea igual a 1. Esto ocurre si el grado del numerador es igual al del denominador, y el coeficiente principal del numerador también es 1. Para lograr esto, podemos usar:

\[
f(x) = \frac{x^2}{(x)(x - 4)}
\]

### Paso 3: Valores positivos entre las asintotas

Ahora, entre \( x = 0 \) y \( x = 4 \), queremos que la función tome únicamente valores positivos. Esto ya ocurre de manera natural con la función propuesta, ya que tanto el numerador como el denominador son positivos en ese intervalo.

Entonces, la función que cumple con todas las condiciones es:

\[
f(x) = \frac{x^2}{x(x - 4)} = \frac{x}{x - 4}
\]

### Gráfica de la función

La función tiene:
- Asintotas verticales en \( x = 0 \) y \( x = 4 \),
- Una asintota horizontal en \( y = 1 \),
- Valores positivos entre \( x = 0 \) y \( x = 4 \).

Si quieres puedo crear una gráfica de esta función. ¿Te gustaría que lo haga? 

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Si tienes preguntas, no dudes en pedir más detalles. Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta el grado del numerador a la forma de la función?
2. ¿Qué cambios ocurrirían si cambiamos la posición de las asintotas verticales?
3. ¿Por qué las funciones racionales tienen asintotas?
4. ¿Cómo se determina el comportamiento de la función fuera del intervalo \( (0, 4) \)?
5. ¿Cómo se pueden modificar los valores positivos o negativos de una función racional?

**Tip**: La posición de las asintotas y el comportamiento asintótico determinan la estructura general de una función racional.

Learn how to graph a rational function with vertical asymptotes at x = 0 and x = 4, and a horizontal asymptote at y = 1. The function remains positive between the vertical asymptotes. Explore the steps to create this rational function and understand its behavior.

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