Sejam a e b dois números inteiros tais que MDC
(a, b) = 48 e a + b = 288. Temos que a – b vale:


Sabemos que \( \text{MDC}(a, b) = 48 \) e que \( a + b = 288 \). A partir da condição do máximo divisor comum (MDC), podemos dizer que \( a \) e \( b \) são múltiplos de 48, ou seja, podemos escrever:

\[
a = 48 \cdot m \quad \text{e} \quad b = 48 \cdot n
\]

onde \( m \) e \( n \) são dois números inteiros tais que \( \text{MDC}(m, n) = 1 \) (ou seja, \( m \) e \( n \) são coprimos, pois o MDC de \( a \) e \( b \) já foi "extraído" pelo fator 48).

Agora substituímos \( a \) e \( b \) na equação \( a + b = 288 \):

\[
48 \cdot m + 48 \cdot n = 288
\]

Simplificando:

\[
48(m + n) = 288
\]

Dividindo ambos os lados por 48:

\[
m + n = 6
\]

Agora, precisamos encontrar os valores de \( m \) e \( n \) que satisfazem \( \text{MDC}(m, n) = 1 \) e \( m + n = 6 \). Os pares possíveis são \( (m, n) = (1, 5) \) ou \( (m, n) = (5, 1) \), já que nesses casos o MDC é 1.

Agora, podemos calcular \( a - b \). Se \( m = 1 \) e \( n = 5 \), temos:

\[
a = 48 \cdot 1 = 48 \quad \text{e} \quad b = 48 \cdot 5 = 240
\]

Assim:

\[
a - b = 48 - 240 = -192
\]

Por outro lado, se \( m = 5 \) e \( n = 1 \), temos:

\[
a = 48 \cdot 5 = 240 \quad \text{e} \quad b = 48 \cdot 1 = 48
\]

Nesse caso:

\[
a - b = 240 - 48 = 192
\]

Portanto, o valor de \( a - b \) pode ser \( 192 \) ou \( -192 \). Como a questão pede o valor absoluto, temos:

\[
a - b = 192
\]

---

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. Como se define o MDC entre dois números inteiros?
2. Qual é a importância de números coprimos em problemas envolvendo o MDC?
3. Como podemos usar a fatoração para encontrar o MDC de dois números?
4. Qual é o procedimento para encontrar a combinação linear de dois números dados seu MDC?
5. Como o algoritmo de Euclides pode ser aplicado para calcular o MDC?

**Dica**: Sempre que você souber o MDC entre dois números, tente escrever os números como múltiplos desse MDC, o que pode simplificar muitos problemas!

Sejam a e b dois números inteiros tais que MDC(a, b) = 48 e a + b = 288. Temos que a – b vale:

Solve the problem where two integers, a and b, have a GCD of 48 and a sum of 288. Learn how to express a and b as multiples of 48 and use properties of coprime numbers to find the difference a - b. This detailed explanation is ideal for students in Grades 10-12.

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